Fase di Berry

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La fase di Berry, introdotta dal fisico britannico Michael Berry, è la fase acquistata da uno stato quantistico a seguito di una variazione adiabatica dell'Hamiltoniana descrivente la dinamica del sistema. Tale fase è anche detta fase geometrica poiché dipende dalla geometria dello spazio degli stati quantistici per il sistema in esame, in contrapposizione alla fase dinamica che è acquistata da un autostato della Hamiltoniana durante la sua evoluzione temporale, dettata dalla soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un sistema descritto da un'Hamiltoniana  \mathit{H} e da uno stato quantistico  | \psi \rangle . Supponiamo che  \mathit{H} dipenda da un parametro λ reale e che esso vari nel tempo. Partendo da una situazione iniziale che vede il sistema nell'm-esimo autostato dell'Hamiltoniana  \mathit{H}\bigl(\lambda(t_0)\bigr) , se la variazione del parametro è sufficientemente lenta, il teorema adiabatico stabilisce che a un tempo successivo t il sistema si troverà ancora nell'm-esimo autostato della nuova Hamiltoniana  \mathrm{H}\bigl(\lambda(t)\bigr) .

In formule:

 \bigl|\psi(t)\bigr\rangle = e^{i \theta(t)} \bigl|\psi(t_0)\bigr\rangle  =  e^{i \theta(t)}\bigl|m(t_0)\bigr\rangle =  \mathrm{exp}\bigg(\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t E_m\bigl(\lambda(t')\bigr) \,\mathrm{d}t'\bigg)e^{i \gamma(t)} \bigl|m(t_0)\bigr\rangle ,

dove nell'ordine sono stati usati il teorema adiabatico, la condizione iniziale e una conveniente riscrittura della fase acquistata per distinguere il contributo dinamico da quello geometrico  \gamma (t) ; quest'ultimo definisce la fase di Berry.

Spin in campo magnetico[modifica | modifica sorgente]

Per come è stata qui definita, la fase di Berry è un semplice artificio formale, dato che non è garantito che essa sia diversa da zero per qualche reale sistema fisico. Un esempio concreto in cui tale fase si manifesta si ottiene considerando una particella di spin l interagente in un campo magnetico  B. L'Hamiltoniana di tale interazione è data da

 \mathit{H} = \alpha \vec{S} \cdot \vec{B} ,

dove  \alpha è una costante opportuna,  \vec{S} è lo spin della particella e  \vec{B} il campo; in questo caso, il campo viene considerato come il parametro per l'Hamiltoniana. Supponiamo che all'inizio esso sia parallelo all'asse z e che il sistema si trovi nell'autostato di  S_z relativo all'autovalore m \hbar (che è anche autostato dell'energia); si può dimostrare allora che la fase di Berry del campo associata a un cammino chiuso C è data da

 \gamma (C) =  m \int_\Sigma \frac{\mathrm{d}B}{B^2}  = m \Omega (\Sigma)

dove \Sigma è una superificie che ha C come frontiera, e si è indicato con  \Omega ( \Sigma ) l'angolo solido di tale superficie.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

La fase di Berry è stata utilizzata per descrivere l'effetto Aharonov-Bohm e l'effetto Jahn-Teller.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Fisica Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Fisica