Elicità idrodinamica

In fluidodinamica, l’elicità idrodinamica è, sotto appropriate condizioni, un'invariante delle equazioni di Eulero tridimensionali del flusso dei fluidi, che ha interpretazione topologica come misura del link o della nodosità delle linee di vortice di un flusso.

Formalismo matematico

Sia $\mathbf {u} (x,t)$ il campo di velocità e $\nabla \times \mathbf {u}$ il corrispondente campo di vorticità. Sotto le seguenti tre condizioni, le linee di vortice sono trasportate con il sistema:

1. il fluido è inviscido;
2. il fluido incompressibile ($\nabla \cdot \mathbf {u} =0$) o è compressibile con la relazione barotropica $p=p(\rho )$ tra la pressione $p$ e la densità $\rho$;
3. le forze che agiscono sul fluido sono conservative.

Sotto queste condizioni, ogni superficie chiusa $S$ sulla quale $n\cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0$ è, come la vorticità, trasportata con il flusso.

Sia $V$ il volume all'interno di tale superficie; allora l'elicità in $V$ è definita da:

$H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.$

Per una distribuzione localizzata della vorticità in un fluido non confinato, si può considerare come $V$ l'intero spazio e $H$ è allora l'elicità totale del flusso. $H$ è invariante in quanto le linee di vorticità sono congelate nel flusso e il loro link e la nodosità sono perciò conservati, come riconosciuto già da Lord Kelvin nel 1868. L'elicità è una quantità pseudo scalare, in quanto cambia di segno quando il sistema di riferimento cambia da destrorso a sinistrorso; può quindi essere considerata una misura della chiralità del flusso. L'elicità, assieme all'energia, alla quantità di moto e al momento angolare, sono le sole invarianti integrali conosciute delle equazioni di Eulero in tre dimensioni.

Per due tubi di vorticità con link, ma senza incroci, che hanno circolazioni $\kappa _{1}$ e $\kappa _{2}$ senza torsioni interne, l'elicità è data da:

$H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}$,

dove $n$ è il numero di incroci dei due tubi, mentre il segno più o il segno meno dipendono dal fatto che il link sia destrorso o sinistrorso.

Per un tubo di vorticità con un solo nodo e circolazione $\kappa$, l'elicità è data da:

$H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)$,

dove $Wr$ e $Tw$ sono rispettivamente le contorsioni (writhe) e le torsioni (twist) del tubo. La somma $Wr+Tw$ è invariante sotto una deformazione continua del tubo.

L'invarianza dell'elicità è un punto fondamentale nella fluidodinamica topologica e nella magnetoidrodinamica, collegata alle proprietà globali dei flussi e alle loro caratteristiche topologiche.

Interpretazione topologica

Il nome "elicità" si basa sul fatto che il movimento delle particelle fluide in un flusso con velocità $\mathbf {v}$ e vorticità $\mathbf {\omega } =\nabla \times \mathbf {v}$, nelle aree in cui l'elicità cinetica $\textstyle H^{K}\neq 0$, forma un'elica. Per $H^{K}>0$ il senso è sinistrorso, mentre per $H^{K}<0$ è destrorso.

Meteorologia

In meteorologia, l'elicità corrisponde al trasferimento di vorticità dall'ambiente a una particella d'aria in moto convettivo. La definizione matematica semplificata di elicità che utilizza solamente la componente orizzontale del vento e la vorticità è data da:

$H=\int {{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{\mathbf {Z} }=\int {{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases}Z=Altitude\\{\vec {V}}_{h}=Horizontal\ velocity\\{\vec {\zeta }}_{h}=Horizontal\ vorticity\end{cases}}$

In base a questa formula, se un vento orizzontale non cambia direzione con l'altitudine, H sarà uguale a zero poiché $V_{h}$ e $\nabla \times V_{h}$ sono perpendicolari tra loro e questo rende nullo il loro prodotto scalare. H invece è positivo se il vento ruota in senso orario all'aumentare dell'altitudine, negativo se ruota in senso antiorario. L'elicità utilizzata in meteorologia ha unità di energia per unità di massa (${m^{2}}/{s^{2}}$) e quindi viene interpretata come una misura del trasferimento di energia da parte del wind shear con l'altitudine e la direzionalità.

Questa nozione di elicità è usata per predire la possibilità di formazione di tornado in un temporale. In questo caso, l'integrazione verticale è limitata al di sotto della sommità delle nubi (in genere 3 km) e la componente orizzontale del vento viene calcolata relativamente al temporale sottraendone la velocità di avanzamento:

$SRH=\int {\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases}{\vec {C}}=Cloud\ motion\ to\ the\ ground\end{cases}}$

Negli USA i valori critici di "elicità relativa a una tempesta" SRH (Storm Relative Helicity) per lo sviluppo di tornado sono:

• SRH = 150-299 ... possibile formazione di supercelle con deboli tornado secondo la scala Fujita
• SRH = 300-499 ... molto favorevole alla formazione di supercelle e forti tornado
• SRH > 450 ... violenti tornado
• Se viene utilizzata solo al di sotto di 1 km, il valore di soglia minima è fissato a 100.

L'elicità tuttavia non è la sola componente dei forti temporali, e per questo motivo è stato creato l'Indice di elicità dell'energia (EHI, Energy Helicity Index), che è dato dal prodotto dell'SRH moltiplicato per l'energia potenziale convettiva disponibile CAPE (Convective Available Potential Energy) e diviso per un valore di soglia:

$EHI={\frac {SRH\cdot CAPE}{160000}}$

Questo incorpora non solo l'elicità, ma anche l'energia della particella d'aria cercando così di eliminare i bassi potenziali di temporali anche in regioni a forte SRH. I valori critici di EHI sono:

• EHI = 1 ... possibili tornado
• EHI = 1-2 ... tornado da moderati a forti
• EHI > 2 ... forti tornado

Bibliografia

• Batchelor, G.K., (1967, reprinted 2000), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press
• Ohkitani, K., Elementary Account Of Vorticity And Related Equations, Cambridge University Press, January 30, 2005. ISBN 0-521-81984-9
• Chorin, A.J., Vorticity and Turbulence, Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. March 1, 1994. ISBN 0-387-94197-5
• Majda, A.J., Bertozzi, A.L., Vorticity and Incompressible Flow, Cambridge University Press; 1st edition. December 15, 2001. ISBN 0-521-63948-4
• Tritton, D.J., Physical Fluid Dynamics, Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
• Arfken, G., Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5
• Moffatt, H.K. (1969), The degree of knottedness of tangled vortex lines, J. Fluid Mech. 35, pp. 117–129.
• Moffatt, H.K., Ricca, R.L. (1992), Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant, Proc. R. Soc. Lond. A, 439, pp. 411–429.
• Thomson, W. (Lord Kelvin) (1868), On vortex motion, Trans. Roy. Soc. Edin.. 25, pp. 217–260.

Voci correlate

• Vorticità
• Enstrofia
• Chiralità (fisica)
• Teoria dei nodi