Dimostrazione della irrazionalità di e

Il numero e è un numero fondamentale in molti campi della matematica e in altre scienze. È qui riportata una dimostrazione della sua irrazionalità, ossia del fatto che esso non può essere scritto come frazione con numeratore e denominatore interi.

Dimostrazione

Ragionando per assurdo, consideriamo il numero di Nepero e un numero razionale e dunque esprimibile nella forma $\frac{a}{b}$ con a e b interi positivi, e sia

$x = b!\left( e - \sum_{n=0}^{b}1/n! \right)$.

Possiamo ora notare che per come è costruito, x è un numero intero. Infatti, avendo supposto e come il rapporto tra a e b, possiamo scrivere

$x = b! \left( \frac{a}{b} - \sum_{n=0}^{b}1/n! \right) = a(b-1)! - \sum_{n=0}^{b}b!/n!$.

Il primo termine della differenza è un intero, ed anche il secondo termine lo è, poiché tutti i termini della somma lo sono finché b≥n.
Utilizzando la definizione di e possiamo scrivere

$x = \sum_{n=b+1}^{\infty}b!/n!$

e questo implica che x>0. La relazione appena trovata ci permette di scrivere

$x = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + ..... < \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + ..... = \frac{1}{b}$

grazie alla formula per la somma di una serie geometrica. Poiché evidentemente b>1 abbiamo ottenuto che x<1.

Otteniamo quindi che che 0 < x <1; non essendoci interi tra 0 ed 1 abbiamo trovato l'assurdo, e dimostrato l'irrazionalità di e

CVD

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