Costante di Khinchin

Costante di Khinchin
Simbolo	$K_0$
Valore	2,685452001065306445... (sequenza A002210 dell'OEIS)
Origine del nome	Aleksandr Yakovlevich Khinchin
Frazione continua	[2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, ...] (sequenza A002211 dell'OEIS)
Campo	numeri reali
Il grafico mostra come, numericamente, la media geometrica dei quozienti parziali della frazione continua di π (in rosso), γ (in blu) e 2$\sqrt[3]{2}$ (in verde) sembrino convergere alla costante di Khinchin.

In teoria dei numeri, la costante di Khinchin è una costante matematica che ha la proprietà di essere il limite, per quasi tutti i numeri reali, della media geometrica dei primi n quozienti parziali della loro frazione continua. L'esistenza di questa costante, indipendente dal numero di partenza, è stata dimostrata da Aleksandr Yakovlevich Khinchin. È denotata con K₀.

Il suo valore è

$K_0\approx 2.6854520010\dots$

Non è noto se la costante di Khinchin sia irrazionale.

Tra i numeri che non hanno questa proprietà vi sono i numeri razionali, gli irrazionali quadratici ed e; si suppone invece che π, la costante di Eulero-Mascheroni γ e la stessa costante di Khinchin la verifichino, ma questo non è stato dimostrato né per loro né per alcun altro numero, sebbene siano state costruite successioni la cui media geometrica tende a K₀.

Formule

Vi sono varie formule che esprimono la costante di Khinchin. Come produttoria, si ha

$K_0=\prod_{r=1}^\infty {\left\{1+\frac{1}{r(r+2)}\right\}}^{\log_2 r}$

mentre usando la funzione zeta di Riemann si ha

$\ln K_0 = \frac{1}{\log 2} \sum_{n=1}^\infty \frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$

Due rappresentazioni integrali sono

$\ln K_0=\ln 2+ \frac{1}{\ln 2}\int_0^1 \frac{1}{x(1+x)}\ln[\Gamma(2-x)\Gamma(2+x)]\mathrm{d}x$

dove Γ indica la funzione Gamma, e

$\ln(K_0)\ln 2=\int_1^\infty \frac{\ln(\lfloor t\rfloor)}{t(1+t)}\mathrm{d}t=\int_0^1 \frac{\ln(\lfloor 1/t\rfloor)}{1+t}\mathrm{d}t$

Ulteriori costanti

Generalizzando la media geometrica, è stato dimostrato che per quasi tutti gli x la media

$K_p=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^p\right]^{1/p}$

è indipendente da x, e pari a

$K_p=\left[\sum_{k=1}^\infty -k^p \log_2\left( 1-\frac{1}{(k+1)^2} \right)\right]^{1/p}$

Per $p\to 0$, il limite di K_p è la costante di Khinchin.

Bibliografia

• David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall (1995). On the Khintchine Constant. Math. Comp. 66 (217): 417-431.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Khinchin su MathWorld.

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