Costante di Gelfond

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Costante di Gelfond
Simbolo e^\pi
Valore 23, 1406926327792690057290...
(sequenza A039661 dell'OEIS)
Origine del nome Aleksandr Gelfond
Frazione continua [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, ...]
(sequenza A058287 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate Pi greco, e

La costante di Gelfond è un numero trascendente definito come e elevato alla π,

e^\pi = 23,1406926327...

Prende il nome dal matematico Aleksander Gelfond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gelfond.

La sua espansione in frazione continua è

[23, 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108,\cdots].

Dimostrazione della trascendenza[modifica | modifica wikitesto]

Dalla formula di Eulero possiamo ricavare che:

e^{i\frac{\pi}{2}} = i.

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che i^2 = -1:

i^i = e^{-\frac{\pi}{2}},

cioè

e^{\pi} = \frac{1}{i^{2i}} = i^{-2i};

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gelfond e^\pi non può essere algebrico.

Calcolo[modifica | modifica wikitesto]

Il valore della costante di Gelfond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}.

L'espressione

(4/k_n)^{2^{1-n}}

converge allora rapidamente ad e^{\pi}

Proprietà geometriche[modifica | modifica wikitesto]

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

V_n=\frac{\pi^\frac{n}{2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)},

dove \Gamma è la funzione gamma. Di conseguenza, se consideriamo solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, abbiamo che:

V_{2n}=\frac{\pi^{n}}{n!},

ricordando che \Gamma(n+1)=n! per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

\sum_{n=0}^\infty V_{2n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\pi^{n}}{n!}=e^\pi,

perché il secondo membro è l'espansione in serie di Taylor dell'esponenziale.


Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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