Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing

Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing
Simbolo	λ
Valore	0,303663002898732658... (sequenza A038517 dell'OEIS)
Origine del nome	Carl Friedrich Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing
Frazione continua	[0, 3, 3, 2, 2, 3, 13, 1, 174, 1, 1, 1, ...] (sequenza A007515 dell'OEIS)
Campo	numeri reali

La costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (il nome deriva dai matematici Carl Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing) è una costante matematica che si incontra in combinatoria ed è importante nello studio dell'efficienza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore. Non è noto se sia irrazionale. È legata alla funzione Zeta di Riemann.

Definizione

Sia G l'operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing, cioè:

$[Gf](x) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right).$

L'autovalore maggiore in valore assoluto è 1 e corrisponde alla funzione:

$\frac {\ln 2} {1+x}.$

Il secondo autovalore è la costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing e vale all'incirca:

$\lambda = 0,30366300289...$

Eduard Wirsing ha mostrato che, se $F_n(x)$ è la distribuzione Gauss-Kuzmin, allora:

$\lim_{n \to \infty}\frac{F_n(x) - \ln(1 - x)}{(-\lambda)^n} = \Psi(x),$

dove $\Psi(x)$ è una funzione analitica tale che $\Psi(0) = \Psi(1) = 0$.

Relazione con la funzione Zeta di Riemann

L'operatore GKW è legato alla funzione Zeta di Riemann. La funzione Zeta di Riemann può essere scritta così:

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-s\int_0^1 h(x) x^{s-1} \; dx$

questo implica che:

$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_0^1 dx\; x \left[Gx^{s-1} \right]$

dopo un cambio di variabile.

Voci correlate

• Distribuzione Gauss-Kuzmin
• Operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing su MathWorld.
• Tutte le cifre della costante Gauss-Kuzmin-Wirsing

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