Analisi modale

L'analisi modale è lo studio del comportamento dinamico di una struttura quando viene sottoposta a vibrazione. In analisi strutturale, permette la determinazione delle proprietà e della risposta di una struttura, vincolata o libera, in dinamica autonoma oppure eccitata da sollecitazioni forzanti dinamiche imposte dall'esterno.

Descrizione [modifica]

Nel caso di corpi semplici l'analisi modale è in grado di studiare il comportamento dinamico nel dettaglio attraverso la valutazione della sua frequenza naturale e dei modi propri di vibrare associati. Nel caso di strutture complesse, esse vengono preventivamente schematizzate attraverso il metodo degli elementi finiti al fine di ottenere gli stessi risultati riferiti all'insieme.
Mediante tale analisi si definisce la risposta della struttura in progetto a forzanti con diversi contenuti armonici. Gli scopi possono essere vari, per esempio evitare fenomeni di risonanza meccanica oppure valutare gli stati di sforzo/deformazione indotti dalle stesse forzanti. I campi d'applicazione di tale metodologia sono l'ingegneria meccanica, l'ingegneria aerospaziale, l'ingegneria del suono e l'ingegneria civile per quanto concerne l'analisi delle sollecitazioni sismiche.

Formulazione matematica [modifica]

Dato il sistema ad n gradi di libertà, che è un sistema algebrico differenziale del secondo ordine:

$\mathbf{\underline{\underline{M}}} \, \ddot{\mathbf{\underline{q}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{C}}} \, \dot{\mathbf{\underline{q}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{K}}} \, \mathbf{\underline{q}} \mathbf{\left(t\right)}= \mathbf{\underline{f}\left(t\right)}$

Considero l'equivalente sistema non smorzato:

$\mathbf{\underline{\underline{M}}} \, \ddot{\mathbf{\underline{q}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{K}}} \, \mathbf{\underline{q}} \mathbf{\left(t\right)}= \mathbf{\underline{f}\left(t\right)}$

È possibile calcolare gli autovalori e gli autovettori associati attraverso il problema di autovalori associato, del secondo ordine:

$\mathbf{\underline{\underline{K}}} \, \mathbf{\underline{Z}^n} = \mathbf{\lambda_n} \mathbf{\underline{\underline{M}}} \, \mathbf{\underline{Z}^n}$

Dove i $\lambda_n$ sono gli autovalori, e gli $\underline{Z}^n$ sono gli autovettori del sistema, nella forma di vettori colonna. Con questa formulazione si calcolano gli autovalori con:

$\mathbf{det \left ( \underline{\underline{K}} - \lambda_n \underline{\underline{M}} \right )=0 }$

e successivamente gli autovettori associati a ogni autovalore:

$\mathbf{ \left ( \underline{\underline{K}} - \lambda_n \underline{\underline{M}} \right ) \underline{Z}^n =0 }$

È così possibile utilizzare gli autovettori, che sono i modi propri del sistema approssimati, per la diagonalizzazione del sistema, che, se anche la matrice di smorzamento è diagonalizzabile, porta a scrivere il sistema in coordinate modali come un sistema di equazioni tra loro indipendenti. Effettuo il cambio di coordinate:

$\mathbf{\underline{q}} \mathbf{\left(t\right)} = \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \, \mathbf{\underline{\widehat{q}}} \mathbf{\left(t\right)} = \begin{bmatrix} \mathbf{\underline{Z}^1}\ \mathbf{\underline{Z}^2}\ ...\ \mathbf{\underline{Z}^n}\ \end{bmatrix} \, \mathbf{\underline{\widehat{q}}} \mathbf{\left(t\right)} = \mathbf{\underline{Z}^1}\,\mathbf{\widehat{q_1}} + \mathbf{\underline{Z}^2}\,\mathbf{\widehat{q_2}} + ...\ + \mathbf{\underline{Z}^n}\,\mathbf{\widehat{q_n}}$

Si può osservare che questo cambio di coordinate è legittimo perché gli autovettori sono tra loro indipendenti, in virtù dell'ortogonalità. La nuova variabile consente di scrivere il problema nella forma:

$\mathbf{\underline{\underline{M}}} \, \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \, \ddot{\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{C}}} \, \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \, \dot{\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{K}}} \, \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \, {\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)} = \mathbf{\underline{f}\left(t\right)}$

Premoltiplico l'equazione per la matrice trasposta degli autovettori:

$\mathbf{\underline{\underline{Z}}^T} \mathbf{\underline{\underline{M}}} \, \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \, \ddot{\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{Z}}^T} \mathbf{\underline{\underline{C}}} \, \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \, \dot{\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{Z}}^T} \mathbf{\underline{\underline{K}}} \, \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \, {\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)} = \mathbf{\underline{\underline{Z}}^T} \mathbf{\underline{f}\left(t\right)}$

A questo punto il sistema, assumendo che anche la matrice di smorzamento sia tale, il che è vero solo per smorzamento piccolo e frequenze naturali del sistema lontane tra loro, è diagonalizzato. Si può quindi scrivere nella forma:

$\mathbf{\underline{\underline{\widehat{M}}}} \, \ddot{\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{\widehat{C}}}} \, \dot{\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\underline{\underline{\widehat{K}}}} \, {\mathbf{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(t\right)} = \mathbf{\underline{\widehat{f}}\left(t\right)}$

Questo nuovo sistema è costituito da equazioni tra loro indipendenti, nella forma:

$\mathbf{\widehat{m}_r} \, \mathbf{\ddot{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\widehat{c}_r} \, \mathbf{\dot{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(t\right)}+ \mathbf{\widehat{k}_r} \, {\mathbf{{\widehat{q}}_r}} \mathbf{\left(t\right)} = \mathbf{{\widehat{f}}_r \left(t\right)}$

Le $\widehat{m}_r$ e $\widehat{k}_r$ sono dette rispettivamente massa modale e rigidezza modale. Divido l'equazione per la massa modale associata:

$\mathbf{\ddot{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(t\right)}+ \frac{\mathbf{\widehat{c}}_r}{\mathbf{\widehat{m}_r}} \, \mathbf{\dot{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(t\right)}+ \frac{\mathbf{\widehat{k}}_r}{\mathbf{\widehat{m}_r}} \, {\mathbf{{\widehat{q}}_r}} \mathbf{\left(t\right)} = \frac{\mathbf{{\widehat{f}}_r} \left(t\right)}{\mathbf{\widehat{m}_r}}$

Definisco la pulsazione naturale, non smorzata, associata al modo, che coincide con l'autovalore associato:

$\mathbf{\omega_{0r}} = \sqrt{\frac{\mathbf{\widehat{k}_r}}{\mathbf{\widehat{m}_r}}}$

Lo smorzamento critico:

$\mathbf{\widehat{c}_r^\star} = 2 \sqrt{\mathbf{\widehat{k}_r}{\mathbf{\widehat{m}_r}}}$

Il coefficiente di smorzamento modale:

$\mathbf{\zeta_r} = \frac{\mathbf{\widehat{c}_r}}{\mathbf{\widehat{c}_r^\star}}$

Per cui

$\frac{\mathbf{\widehat{c}_r}}{\mathbf{\widehat{m}_r}} = 2\,\mathbf{\zeta_r}\,\mathbf{\omega_{0r}}$

E si può scrivere l'equazione in coordinate modali in forma canonica:

$\mathbf{\ddot{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(t\right)}+ 2\,\mathbf{\zeta_r}\,\mathbf{\omega_{0r}} \, \mathbf{\dot{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(t\right)} + \mathbf{\omega_{0r}^2} \, {\mathbf{{\widehat{q}}_r}} \mathbf{\left(t\right)} = \frac{\mathbf{{\widehat{f}}_r} \left(t\right)}{\mathbf{\widehat{m}_r}}$

Trasformiamo l'equazione secondo Laplace:

$\mathbf{s^2} \, \mathbf{\tilde{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(s\right)}+ 2\,\mathbf{\zeta_r}\,\mathbf{\omega_{0r}} \, \mathbf{s} \, \mathbf{\tilde{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(s\right)} + \mathbf{\omega_{0r}^2} \, {\mathbf{\tilde{{\widehat{q}}}_r}} \mathbf{\left(s\right)} = \frac{\mathbf{\tilde{{\widehat{f}}}_r} \left(s\right)}{\mathbf{\widehat{m}_r}}$

Quindi è possibile definire la funzione di trasferimento per gli spostamenti modali:

$\mathbf{\tilde{{\widehat{q}}}_r} \mathbf{\left(s\right)}= {\frac{1}{\mathbf{\widehat{m}_r \left( s^2+\omega_r^2+2\zeta_r\omega_{0r}s \right) }}} \mathbf{\tilde{{\widehat{f}}}_r}$

Considerando le grandezze vettoriali:

$\mathbf{\tilde{\underline{\widehat{q}}}} \mathbf{\left(s\right)}= \begin{bmatrix} \ddots& \ & \ \\ \ & {\frac{1}{\mathbf{\widehat{m}_r \left( s^2+\omega_r^2+2\zeta_r\omega_{0r}s \right) }}} & \ \\ \ & \ & \ddots \end{bmatrix} \mathbf{\tilde{\underline{\widehat{f}}}}$

Che tornando in coordinate modali diventa:

$\mathbf{\tilde{{\underline{q}}}} \mathbf{\left(s\right)}= \mathbf{\underline{\underline{Z}}} \begin{bmatrix} \ddots& \ & \ \\ \ & {\frac{1}{\mathbf{\widehat{m}_r \left( s^2+\omega_r^2+2\zeta_r\omega_{0r}s \right) }}} & \ \\ \ & \ & \ddots \end{bmatrix} \mathbf{\underline{\underline{Z}}^T} \, \mathbf{{\underline{\tilde{f}}}}$

Questa è la funzione di trasferimento con in ingresso le forze ed in uscita gli spostamenti.