Disco di Eulero

Disco di Eulero

Il Disco di Eulero è un giocattolo educativo scientifico, utilizzato per illustrare e studiare il sistema dinamico di un disco rotante su una superficie piana (come una moneta) e tale disco è stato oggetto di una serie di documenti scientifici. L'apparecchio è conosciuto per una velocità dinamica apparentemente paradossale: il disco perde energia avvicinandosi alla condizione di arresto, aumentando la sua velocità di rotazione. Questo fenomeno prende il suo nome da Eulero, che lo studiò nel XVIII secolo.

Componenti e uso

Questo disco è un giocattolo disponibile in commercio, ed è costituito da un disco di acciaio cromato pesante e da una spessa base rigida a con una Specchi curvi, leggermente concava. Possono essere attaccati adesivi magnetici Olografia collegati al disco, per migliorare l'effetto visivo di "distensione", ma questi allegati sono rigorosamente decorativi. Il disco, quando gira su una superficie piana, presenta un movimento di rotazione, che progredisce lentamente attraverso varie frequenze e tipi di movimento prima di arrivare alla condizione di riposo. In modo particolare la velocità di precessione dell'Simmetria (matematica) accelera quando il disco girando perde energia. Lo specchio rigido viene utilizzato per fornire una superficie adatta a basso attrito, con una leggera concavità per favorire la rotazione del disco. Una moneta ordinaria ruotata su un tavolo, come con qualsiasi disco rotativo su una superficie relativamente piatta, presentando essenzialmente lo stesso tipo di movimento, ma l'effetto è normalmente più limitato nell'arco di tempo, prima della condizione di quiete. Il giocattolo offre una dimostrazione più efficace del fenomeno rispetto a oggetti più comuni, avendo un rapporto di dimensioni ottimizzato e un bordo lucido e leggermente arrotolato per massimizzare il tempo di rotazione.

Fisica

Il disco rotando arriva alla condizione di riposo, in modo abbastanza brusco, la fase finale del movimento è accompagnata da un suono di frequenza in sempre più rapida crescita. Quando il disco viene ruota, il punto di contatto di rotolamento descrive un cerchio che oscilla con una velocità angolare costante ω. Se il movimento non è dissipativo (senza frizione), ω è costante e il movimento persiste per un tempo infinito; Questo è contrario all'osservazione, poiché ω costante non è fisicamente possibile, nelle situazioni di vita reale il disco deve fermarsi. Il tasso di precessione dell'asse di simmetria si avvicina a una singolarità finita nel tempo modellata da una legge di potenza con esponente di circa -1/3 (a seconda delle condizioni specifiche si disco e basamento). Sono presenti due effetti dissipativi: l'Attrito#Attrito volvente quando la moneta scivola lungo la superficie e trascina l'aria dalla Resistenza fluidodinamica e l'attrito radente del basamento. Gli esperimenti mostrano che l'attrito di rotolamento è principalmente responsabile della dissipazione e del comportamento. Esami eseguiti in condizioni di Vuoto (fisica) dimostrano che l'assenza di aria influenza solo un comportamento, mentre il comportamento (di precessione) dipende sistematicamente dal coefficiente di attrito radente del basamento. Nel limite del piccolo angolo (cioè immediatamente prima che il disco smetta di ruotare), il fattore dominante è il trascinamento dell'aria (specificamente la dissipazione viscosità), ma prima di questa fase finale, l'attrito di rotolamento è l'attrito dominante.

Storia della ricerca

Moffatt

All'inizio del XXI secolo, la ricerca è stata scatenata da un articolo dell'edizione 20 aprile 2000 di Nature, dove Keith Moffatt ha mostrato che la dissipazione viscosa nel sottile strato di aria tra il disco e la base, sarebbe sufficiente per tenere conto dell'orizzonte osservato del processo di sedimentazione. Ha anche dimostrato che il moto si è concluso in una singolarità di tempo-finito. La sua prima ipotesi teorica è stata contraddetta dalla successiva ricerca, che ha dimostrato che l'attrito rotante è in realtà il fattore dominante. Moffatt dimostrò che, quando il tempo $t$ si avvicina a un tempo specifico $t_{0}$ (che è matematicamente una costante di integrazione), la dissipazione viscosa si avvicina all'infinito. Il punto di discontinuità che questo implica non è realizzabile in pratica, perché la grandezza dell'accelerazione verticale non può superare l'accelerazione dovuta alla forza di gravità (il disco perde contatto con la sua superficie di supporto). Moffatt dimostra che la teoria si rompe alla volta $\tau$ prima del tempo di stabilizzazione finale $t_{0}$, data da:

:$\tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{\frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{\frac {1}{5}}$

Dove $a$ è il raggio del disco, $g$ è l'accelerazione dovuta alla gravità della Terra, $\ mu$ la viscosità dinamica dell'[Aria]], e $M$ la massa del disco. Per il disco di Eulero disponibile in commercio, $\ tau$ è circa $10^{-2}$ secondi, La moneta e la superficie, $\ alpha$, è circa 0,005 radianti e la velocità angolare di rotolamento, $\ Omega$, è di circa 500 Hz.

Utilizzando la notazione sopra indicata, il tempo totale di rotazione /rotazione è:

$t_{0}=\ frac{\ alpha_{0}^{3}M}{2\ pi\ mua}$

Dove $\ alpha_{0}$ è l'inclinazione iniziale del disco, misurata in radianti s. Moffatt ha anche mostrato che, se $t_{0}-t>\ tau$, la singolarità in termini finali in $\ Omega$ è data da

$\ Omega\ sim(T_{0}-t)^{-\ frac{1}{6}}$

Risultati sperimentali

Il lavoro teorico di Moffatt ha ispirato molti altri lavoratori sperimentali sul meccanismo dissipativo di un disco, con risultati che in parte contraddicono la sua spiegazione. Questi esperimenti utilizzavano oggetti e superfici di filatura di varie geometrie (dischi e anelli), con vari coefficienti di attrito, sia in aria che in vuoto, e strumenti usati come la fotografia ad alta velocità per quantificare il fenomeno. Nel numero del 30 novembre 2000 di Natur, i fisici Van den Engh, Nelson e Roach discuseroo di esperimenti in cui i dischi sono stati usati nel vuoto Van den Engh usa un rijksdaalder, una moneta dei Paesi Bassi, le cui proprietà magnetiche, gli hanno permesso. Per essere filato ad una velocità precisa. Hanno scoperto che lo scivolamento tra il disco e la superficie potrebbe rappresentare osservazioni e la presenza o l'assenza di aria hanno influenzato leggermente il comportamento del disco. Hanno sottolineato che l'analisi teorica di Moffatt prevederebbe un tempo di rotazione molto lungo per un disco in un vuoto, che non è stato osservato.

Moffatt ha risposto con una teoria generalizzata che dovrebbe consentire la determinazione sperimentale di quale meccanismo di dissipazione è dominante e sottolinea che il meccanismo dominante di dissipazione sarebbe sempre per via di una dissipazione viscosa nel limite del piccolo $\alpha$ (cioè, poco prima Il disco si deposita).

Un lavoro successivo è stato svolto presso l'[Università di Guelph]] di Petrie, Hunt e Gray ha mostrato che l'esecuzione degli esperimenti nel vuoto (alla pressione di 0.1 pascal non ha influenzato in modo significativo il tasso di dissipazione dell'energia. Petrie 'ed altri' hanno anche dimostrato che i tassi sono stati in gran parte inalterati sostituendo il disco con una toroide e che la condizione antiscivolo è stata soddisfatta per angoli superiori ai 10°.

In diverse occasioni durante il 2007-2008 Writers Guild of America strike, il talk show host Conan O'Brien avrebbe fatto ruotare il suo anello di nozze sulla sua scrivania, cercando di far ruotare l'anello per maggior tempo possibile. La ricerca per ottenere tempi di rotazione più lunghi lo hanno portato a invitare il professore del MIT Peter Fisher allo spettacolo per sperimentare il problema. La rotazione dell'anello nel vuoto non aveva alcun effetto identificabile, mentre una superficie di supporto di rotazione in Teflon ha dato un tempo di registrazione di 51 secondi, corroborando l'affermazione che l'attrito di rotolamento è il meccanismo primario per la dissipazione dell'energia cinetica

Vari tipi di attrito di rotolamento come meccanismo primario per la dissipazione di energia sono stati studiati da Leine che ha confermato sperimentalmente che la resistenza all'attrito del movimento del punto di contatto sul bordo del disco è probabilmente il meccanismo di dissipazione primario in una scala temporale di secondi.

Nella Cultura

Il suono e il movimento del giocattolo sono stati catturati sia in radio che in film, ad esempio nei film, "Snow Flake" (giocattolo lampeggiante) e "Pearl Harbor" (suono per i siluri e mostrato durante l'accademia). Il disco di Eulero è stato descritto nella trasmissione televisiva "The Big Bang Theory", il 16 febbraio 2017 (Euler's Disk vs. Raj).

Link esterni

• Sito ufficiale, su eulersdisk.com.
• web.archive.org, https://web.archive.org/web/20040617014034/http://physicsweb.org/article/news/4/4/12.
• inm.uni-stuttgart.de, http://www.inm.uni-stuttgart.de/mitarbeiter/leine/papers/journal_publications/Leine_-_Experimental_and_theoretical_investigation_of_the_energy_dissipation_of_a_rolling_disk_during_its_final_stage_of_motion.pdf.
• web.archive.org, https://web.archive.org/web/20031102033740/http://tam.cornell.edu/~ruina/hplab/Rolling%20and%20sliding/Andy_on_Moffatt_Disk.pdf.
• Template:Cita arXiv
• real-world-physics-problems.com, http://www.real-world-physics-problems.com/eulers-disk.html. Detailed mathematical physics analysis of disk motion