Funzione logaritmicamente convessa: differenze tra le versioni

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In matematica, una funzione f è logaritmicamente convessa o superconvessa^[1] se ${\log }\circ f$ , ossia la composizione della fuzione logaritmo con f, è una funzione convessa.

Definizione

Sia $X$ un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale reale e sia $f:X\rightarrow R$ una funzione che assume valori non negativi. Allora $f$ è:

logaritmicamente convessa se ${\log }\circ f$ è convessa e
logaritmicamente convessa strettamente se ${\log }\circ f$ è strettamente convessa.

In queste definizioni, intendiamo $\log 0$ come $-\infty$ .

Esplicitamente, $f$ è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni $x_{1}\ ,\ x_{2}\in X$ e per ogni $t\in [0,1]$ , valgono le due seguenti condizioni equivalenti:

{\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}

Allo stesso modo, $f$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nelle due espressioni scritte sopra valgono le disuguaglianze strette per ogni $t\in (0,1)$ .

La definizione scritta sopra consente che $f$ sia zero, ma se $f$ è logaritmicamente convessa e si annulla in un punto qualsiasi in $X$ , allora essa si annulla ovunque all'interno di $X$ .

Condizioni equivalenti

Se $f$ è una funzione differenziabile definita su un intervallo $I\subseteq R$ , allora $f$ è logaritmicamente convessa se e solo se vale la seguente condizione per ogni $x$ e $y$ in $I$ :

\log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).

Ciò è equivalente alla condizione secondo la quale ogni volta che $x$ e $y$ sono in $I$ e $x>y$ ,

\left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).

Inoltre, $f$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se queste disuguaglianze sono sempre strette.

Se $f$ è due volte differenziabile, allora è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni $x$ in $I$ ,

f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.

Se la disuguaglianza è sempre stretta, allora $f$ è logaritmicamente convessa strettamente. Tuttavia, il viceversa è falso: è possibile che $f$ sia logritmicamente convessa strettamente e che, per qualche $x$ , si abbia $f''(x)f(x)=f'(x)^{2}$ . Per esempio, se $f(x)=\exp(x^{4})$ , allora $f$ è logaritmicamente convessa strettamente, ma $f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}$ .

Inoltre, $f\colon I\to (0,\infty )$ è logaritmicamente convessa se e solo se $e^{\alpha x}f(x)$ è convessa per ogni $\alpha \in \mathbb {R}$ .^[2]^[3]

Condizioni sufficienti

Se $f_{1},\ldots ,f_{n}$ sono logaritmicamente convesse e se $w_{1},\ldots ,w_{n}$ sono numeri reali non negativi, allora $f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}$ sono logaritmicamente convesse.

Se $\{f_{i}\}_{i\in I}$ è una qualsiasi famiglia di funzioni logaritmicamente convesse, allora $g=\sup _{i\in I}f_{i}$ è logaritmicamente convessa.

Se $f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R}$ è convessa e $g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}$ è logaritmicamente convessa e non decrescente, allora $g\circ f$ è logaritmicamente convessa.

Proprietà

Una funzione logaritmicamente convessa $f$ è una funzione convessa poiché è la funzione composta della funzione convessa crescente $\exp$ e della funziona $\log \circ f$ , che è convessa per definizione. Tuttavia, l'essere logaritmicamente convessa è una proprietà assolutamente più forte dell'essere convessa. Per esempio, la funzione quadrato $f(x)=x^{2}$ è convessa, ma il suo logaritmo $\log f(x)=2\log |x|$ non lo è. Pertanto, la funzione quadrato non è logaritmicamente convessa.

Esempi

$f(x)=\exp(|x|^{p})$ è logaritmicamente convessa se $p\geq 1$ e logaritmicamente convessa strettamente se $p>1$ .
$f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$ è logaritmicamente convessa strettamente su $(0,\infty )$ per ogni $p>0.$
La funzione gamma di Eulero è logaritmicamente convessa strettamente se viene ristretta ai numeri reali positivi. Infatti, mediante il teorema di Bohr-Mollerup, questa proprietà può essere utilizzata per caratterizzare la funzione gamma di Eulero tra le possibili estensioni della funzione fattoriale agli argomenti reali.

Note

^ Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
^ Montel 1928.
^ NiculescuPersson 2006, p. 70.

Bibliografia

John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. Template:Isbn.
"Convexity, logarithmic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
(English) Convex Functions and their Applications - A Contemporary Approach, Springer, 2006, DOI:10.1007/0-387-31077-0. Lingua sconosciuta: English (aiuto).
(French) Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques, in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 7, 1928, pp. 29-60. Lingua sconosciuta: French (aiuto).
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

Voci correlate

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[1] Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.

[2] Montel 1928.

[3] NiculescuPersson 2006, p. 70.

[1]

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-In [[matematica]], una [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>f</math> definita in un [[insieme convesso|sottoinsieme convesso]] di uno [[spazione vettoriale]] [[Numero reale|reale]] e che assume valori positivi è detta '''logaritmicamente convessa''' o '''superconvessa'''<ref>Kingman, J.F.C.  1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.</ref> se <math>{\log}\circ f</math>, ossia la [[Composizione di funzioni|composizione]] della [[logaritmo|funzione logaritmo]] con <math>f</math>, è una [[funzione convessa]]. In effetti, il logaritmo rallenta drasticamente la crescita della funzione originale <math>f</math>, per cui se la composizione conserva ancora la proprietà di convessità, ciò deve significare che la funzione originale <math>f</math> era 'realmente convessa', tanto da meritare il termine di 'superconvessa'.
+In [[matematica]], una [[Funzione (matematica)|funzione]] ''f'' è '''logaritmicamente convessa''' o '''superconvessa'''<ref>Kingman, J.F.C.  1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.</ref> se <math>{\log}\circ f</math>, ossia la [[Composizione di funzioni|composizione]] della [[Logaritmo|fuzione logaritmo]] con ''f'', è una [[funzione convessa]].
+== Definizione ==
-Una funzione logaritmicamente convessa ''f'' è una funzione convessa poiché è la [[Composizione di funzioni|funzione composta]] dalla funzione convessa [[funzione monotona|crescente]] <math>\exp</math> e dalla funzione <math>\log\circ f</math>, che abbiamo supposto convessa. Il contrario non è sempre vero: per esempio <math>g: x\mapsto x^2</math> è una funzione convessa, ma <math>{\log}\circ g: x\mapsto \log x^2 = 2 \log |x|</math> non lo è e così <math>g</math> non è una funzione logaritmicamente convessa. D'altra parte, <math>x\mapsto e^{x^2}</math> è logaritmicamente convessa poiché <math>x\mapsto \log e^{x^2} = x^2</math> è convessa. Un esempio importante di una funzione logaritmicamente convessa è la [[funzione Gamma]] sui [[Numero reale|numeri reali positivi]] (vedere [[Teorema di Bohr-Mollerup]]).
+Sia <math>X</math> un [[Insieme convesso|sottoinsieme convesso]] di uno [[spazio vettoriale]] [[Numero reale|reale]] e sia <math> f : X \rightarrow R </math> una funzione che assume valori [[Segno (matematica)|non negativi]].  Allora <math>f</math> è:
+* '''logaritmicamente convessa''' se <math>{\log} \circ f</math> è convessa e
+* '''logaritmicamente convessa strettamente''' se <math>{\log} \circ f</math> è strettamente convessa.
+In queste definizioni, intendiamo <math>\log 0</math> come <math>-\infty</math>.
+Esplicitamente, <math>f</math> è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni <math>x_1 \ , \ x_2 \in X </math> e per ogni <math>t \in [0, 1]</math>, valgono le due seguenti condizioni equivalenti:
+:<math>\begin{align}
+\log f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le t\log f(x_1) + (1 - t)\log f(x_2), \\
+f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le f(x_1)^tf(x_2)^{1-t}.
+\end{align}</math>
+Allo stesso modo, <math>f</math> è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nelle due espressioni scritte sopra valgono le disuguaglianze strette per ogni <math>t \in (0, 1)</math>.
+La definizione scritta sopra consente che <math>f</math> sia zero, ma se <math>f</math> è logaritmicamente convessa e si annulla in un punto qualsiasi in <math>X</math>, allora essa si annulla ovunque all'interno di <math>X</math>.
+=== Condizioni equivalenti ===
+Se <math>f</math> è una funzione differenziabile definita su un intervallo <math>I \subseteq R</math>, allora <math>f</math> è logaritmicamente convessa se e solo se vale la seguente condizione per ogni <math>x</math> e <math>y</math> in <math>I</math>:
+:<math>\log f(x) \ge \log f(y) + \frac{f'(y)}{f(y)}(x - y).</math>
+Ciò è equivalente alla condizione secondo la quale ogni volta che <math>x</math> e <math>y</math> sono in <math>I</math> e <math>x > y </math>,
+:<math>\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)^{\frac{1}{x - y}} \ge \exp\left(\frac{f'(y)}{f(y)}\right).</math>
+Inoltre, <math>f</math> è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se queste disuguaglianze sono sempre strette.
+Se <math>f</math> è due volte differenziabile, allora è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni <math>x</math> in <math>I</math>,
+:<math>f''(x)f(x) \ge f'(x)^2.</math>
+Se la disuguaglianza è sempre stretta, allora <math>f</math> è logaritmicamente convessa strettamente. Tuttavia, il viceversa è falso: è possibile che <math>f</math> sia logritmicamente convessa strettamente e che, per qualche <math>x</math>, si abbia <math>f''(x)f(x) = f'(x)^2</math>. Per esempio, se <math>f(x) = \exp(x^4)</math>, allora <math>f</math> è logaritmicamente convessa strettamente, ma <math>f''(0)f(0) = 0 = f'(0)^2</math>.
+Inoltre, <math>f\colon I \to (0, \infty)</math> è logaritmicamente convessa se e solo se <math>e^{\alpha x}f(x)</math> è convessa per ogni <math>\alpha\in\mathbb R</math>.<ref>Montel 1928.</ref><ref>NiculescuPersson 2006, p. 70.</ref>
+== Condizioni sufficienti ==
+Se <math>f_1, \ldots, f_n</math> sono logaritmicamente convesse e se <math>w_1, \ldots, w_n</math> sono numeri reali non negativi, allora <math>f_1^{w_1} \cdots f_n^{w_n}</math> sono logaritmicamente convesse.
+Se <math>\{f_i\}_{i \in I}</math> è una qualsiasi famiglia di funzioni logaritmicamente convesse, allora <math>g = \sup_{i \in I} f_i</math> è logaritmicamente convessa.
+Se <math>f \colon X \to I \subseteq \mathbf{R}</math> è convessa e <math>g \colon I \to \mathbf{R}_{\ge 0}</math> è logaritmicamente convessa e non decrescente, allora <math>g \circ f</math> è logaritmicamente convessa.
+== Proprietà ==
+Una funzione logaritmicamente convessa <math>f</math> è una funzione convessa poiché è la [[Composizione di funzioni|funzione composta]] della funzione convessa [[Funzione monotona|crescente]] <math>\exp</math> e della funziona <math>\log\circ f</math>, che è convessa per definizione. Tuttavia, l'essere logaritmicamente convessa è una proprietà assolutamente più forte dell'essere convessa. Per esempio, la funzione quadrato <math>f(x) = x^2</math> è convessa, ma il suo logaritmo <math>\log f(x) = 2\log |x|</math> non lo è. Pertanto, la funzione quadrato non è logaritmicamente convessa.
+== Esempi ==
+* <math>f(x) = \exp(|x|^p)</math> è logaritmicamente convessa se <math>p \ge 1</math> e logaritmicamente convessa strettamente se <math>p > 1</math>.
+* <math>f(x) = \frac{1}{x^p}</math> è logaritmicamente convessa strettamente su <math>(0,\infty)</math> per ogni <math>p>0.</math>
+* La [[Funzione Gamma|funzione gamma]] di Eulero è logaritmicamente convessa strettamente se viene ristretta ai numeri reali positivi. Infatti, mediante il [[teorema di Bohr-Mollerup]], questa proprietà può essere utilizzata per caratterizzare la funzione gamma di Eulero tra le possibili estensioni della funzione [[fattoriale]] agli argomenti reali.
 == Note ==
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 == Bibliografia ==
-* John B. Conway. ''Functions of One Complex Variable I'', second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
+* John B. Conway. ''Functions of One Complex Variable I'', second edition. Springer-Verlag, 1995. {{isbn|0-387-90328-3}}.
+* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Convexity,_logarithmic "Convexity, logarithmic"], [[Encyclopaedia of Mathematics|''Encyclopedia of Mathematics'']], [[European Mathematical Society|EMS Press]], 2001 [1994]
+* {{citation
+ | last1 = Niculescu
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+ | year = 2006
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+ | language = English
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+ | isbn = 978-0-387-24300-9
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+}}.
+* {{citation
+ | last1 = Montel
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+ | title = Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques
+ | journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
+ | year = 1928
+ | language = French
+ | pages = 29-60
+ | volume = 7
+}}.
 * Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. ''Convex Optimization''. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

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