3-sfera: differenze tra le versioni
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:<math>\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.</math> |
:<math>\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.</math> |
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L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità. |
L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità. |
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==Proprietà== |
==Proprietà== |
Versione delle 12:45, 12 gen 2016
La 3-sfera è una figura geometrica nello spazio euclideo 4-dimensionale, in particolare è l'analogo in questo spazio della sfera. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato.
La 3-sfera è chiamata spesso ipersfera, anche se con lo stesso termine si indicano tutte le n-sfere con n≥3.
Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie (varietà) bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale.
Definizione
In termini di coordinate, una 3-sfera centrata in C (C0, C1, C2, C3) ed avente raggio r è l'insieme dei punti x (x0, x1, x2, x3) nello spazio R4 tali che
Si chiama 3-sfera unitaria o S3 quella con centro nell'origine e raggio unitario:
Se si considera R4 come lo spazio a due coordinate complesse (C2), o quaternione (H), la 3-sfera unitaria è data dalla relazione
oppure da
L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità.
Proprietà
Proprietà elementari
Il volume 3-dimensionale (o iperarea) della 3-sfera di raggio r è pari a
mentre l'ipervolume (il volume della regione 4-dimensionale racchiusa dalla 3-sfera) vale
Ogni intersezione non vuota di una 3-sfera con un iperpiano tridimensionale è una 2-sfera, ossia una sfera convenzionale, oppure un singolo punto (nel caso di tangenza).
Proprietà topologiche
Una 3-sfera è una varietà 3-dimensionale compatta, connessa e senza bordo. Inoltre è un insieme semplicemente connesso: ogni curva chiusa sulla sua superficie può essere ristretta ad un singolo punto senza lasciare la 3-sfera. Secondo la congettura di Poincaré, dimostrata nel 2003 da Grigori Perelman, la 3-sfera (a meno di omeomorfismo) è l'unica figura con queste proprietà.