Topologia discreta: differenze tra le versioni
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* Assegnando ad ogni coppia di punti distinti di un insieme la seguente distanza: |
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d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{se }x = y \\ 1, & \mbox{se }x \ne y |
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\end{cases} |
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otteniamo uno [[spazio metrico]] con topologia discreta (questa metrica si chiama '''metrica discreta'''). Quindi la topologia discreta è [[spazio metrizzabile|metrizzabile]], ovvero indotta da una metrica. |
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* La topologia discreta soddisfa tutti gli [[assioma di separazione|assiomi di separazione]]. |
* La topologia discreta soddisfa tutti gli [[assioma di separazione|assiomi di separazione]]. |
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* Ogni funzione definita su uno spazio discreto (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è [[funzione continua|continua]]. |
* Ogni funzione definita su uno spazio discreto (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è [[funzione continua|continua]]. |
Versione delle 17:59, 9 dic 2010
Uno spazio topologico X ha la topologia discreta quando tutti i sottoinsiemi di X sono aperti. Le seguenti sono altre definizioni equivalenti:
- Tutti i sottoinsiemi di X sono chiusi.
- Tutti i punti di X sono aperti.
La topologia discreta è la più fine fra le topologie di un insieme. All'estremo opposto troviamo la topologia banale che è la meno fine. La topologia discreta può essere considerata come la "topologia naturale" di un insieme, in cui i punti sono tutti "staccati" l'uno dall'altro.
Proprietà
- Assegnando ad ogni coppia di punti distinti di un insieme la seguente distanza:
otteniamo uno spazio metrico con topologia discreta (questa metrica si chiama metrica discreta). Quindi la topologia discreta è metrizzabile, ovvero indotta da una metrica.
- La topologia discreta soddisfa tutti gli assiomi di separazione.
- Ogni funzione definita su uno spazio discreto (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua.
- Uno spazio discreto è totalmente sconnesso. Notiamo che esistono spazi totalmente sconnessi con topologia non discreta, ad esempio i numeri razionali o l'insieme di Cantor.
- Uno spazio discreto è compatto se e solo se è finito.
- Uno spazio discreto è omogeneo: i punti sono indistinguibili.
- Gli spazi discreti a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità. Ad esempio, ogni spazio discreto numerabile è omeomorfo all'insieme dei numeri interi.
Voci correlate