Analisi dimensionale

L' analisi dimensionale è uno strumento concettuale applicato frequentemente in fisica, chimica, e ingegneria per comprendere le situazioni fisiche che riguardano un mix di grandezze fisiche di diversa natura. È abitualmente usata da fisici ed ingegneri per verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni. È anche utilizzata per formare ragionevoli ipotesi su situazioni fisiche complesse che possono essere verificate da esperimenti o da più sviluppate teorie del fenomeno.

Introduzione

Le dimensioni di una grandezza fisica sono associate con simboli, come M, L, e T che rappresentano massa, lunghezza, e tempo, ciascuna elevata a un esponente razionale.

Nell'ambito del Sistema internazionale di unità di misura, sono state definite delle "unità fondamentali", ognuna associata ad una grandezza fisica, che oltre la massa, la lunghezza e il tempo, comprendono: l'intensità di corrente, la temperatura assoluta, la quantità di sostanza e l'intensità luminosa.

Tutte le unità di misura sono riconducibili a queste unità fondamentali: per ogni grandezza fisica esiste un'equazione dimensionale che esprime la relativa unità di misura come prodotto delle potenze delle grandezze fisiche anzidette.

Per esempio, la dimensione della grandezza fisica velocità, è distanza/tempo (L/T) e la dimensione di una forza è massa × distanza/tempo² o ML/T². L'analisi dimensionale è una procedura utile e potente, che può essere adoperata come un controllo di consistenza per aiutarci nella derivazione o nella verifica dell'espressione finale. L'analisi dimensionale utilizza il fatto che le dimensioni possono essere trattate come grandezze algebriche, cioè le grandezze possono essere sommate o sottratte fra loro solamente se hanno le stesse dimensioni. Inoltre, i termini di ciascun membro di un'equazione debbono avere le stesse dimensioni. Seguendo queste semplici regole, si può adoperare l'analisi dimensionale come valido ausilio per giudicare la correttezza della forma di un'espressione, poiché la relazione può essere corretta solamente se le dimensioni in ambo i membri dell'equazione sono le stesse.

L'unità di misura di una grandezza fisica e le sue dimensioni sono correlate, ma non sono concetti identici. Le unità di una grandezza fisica sono definite per convenzione in relazione a qualche standard; per esempio una lunghezza può avere come unità metri, piedi, pollici, miglia o micron; ma qualsiasi lunghezza ha come dimensione L, indipendentemente da quali unità sono arbitrariamente scelte per misurarla. Due differenti unità della stessa grandezza fisica hanno fattori di conversione tra loro. Per esempio: 1 in = 2.54 cm; allora (2.54 cm/in) è il fattore di conversione (tra due rappresentazioni, espresse con differenti unità, della grandezza fisica lunghezza) ed è esso stesso senza dimensioni e uguale a uno. Non esistono fattori di conversione tra simboli dimensionali.

I simboli dimensionali, come L, formano un gruppo: c'è un'identità, L⁰=1; c'è l'inverso di L, che è 1/L o L^-1, e L elevato a qualsiasi esponente razionale p è un membro del gruppo, che ha come inverso L^-p o 1/L elevato allo stesso esponente p. L'operazione del gruppo è la moltiplicazione, con le solite regole per trattare gli esponenti.

In meccanica, la dimensione di qualsiasi grandezza fisica può essere espressa in termini delle dimensioni fondamentali M, L e T. Questa non è l'unica scelta possibile, ma quella più comunemente usata. Si potrebbe, ad esempio, scegliere come dimensioni fondamentali forza, lunghezza e massa, con le dimensioni associate F, L, M. La scelta delle dimensioni fondamentali è così, almeno in parte, una convenzione, e risulta essere quella più utile e famigliare. È, in ogni caso, importante notare che come fondamentale non può essere scelta una terna arbitraria di dimensioni. Dovrebbe essere chiaro che utilizzare lunghezza, tempo e velocità come dimensioni fondamentali in meccanica non sarebbe possibile.

Per la comodità nella comunicazione è importante avere l'intera comunità di scienziati che facciano le stesse scelte. Il Sistema Internazionale (SI) delle unità di misura, con le scelte delle dimensioni corrispondenti, è quello maggiormente utilizzato ed ha rimpiazzato la moltitudine di scelte confuse e sovrapposte presenti in quello esteso (Sistema CGS).

A seconda del campo della fisica, può essere vantaggioso scegliere un insieme esteso di simboli dimensionali, piuttosto che un altro. In elettromagnetismo, ad esempio, può essere utile usare le dimensioni M, L, T e Q, dove Q rappresenta la quantità di carica elettrica. In termodinamica, l'insieme base di dimensioni è spesso esteso a comprendere una dimensione per la temperatura. In chimica il numero di molecole è spesso coinvolto e una dimensione per esso è altresì utile. La scelta delle dimensioni, o anche il numero di dimensioni da usare in campi differenti della fisica è per certi aspetti arbitrario, ma la coerenza nell'uso e la facilità di comunicazione sono fondamentali.

Nella sua forma più primitiva, l'analisi dimensionale può essere usata per controllare la plausibilità delle equazioni fisiche: le due parti di ogni equazione devono essere commensurabili o avere le stesse dimensioni, ovvero, l'equazione deve essere dimensionalmente omogenea. Come corollario di questo requisito, segue che in una espressione fisicamente significativa, solo quantità della stessa dimensione possono essere sommate o sottratte. Ad esempio, la massa di un topo e la massa di una pulce possono essere sommate, ma la massa di una pulce e la lunghezza di un topo non possono essere sommate significativamente. Quantità fisiche che hanno dimensioni differenti non possono essere comparate tra di loro, o usate in disuguaglianze: 3 m > 1 g non è un'espressione corretta, né significativa.

Solo quantità parimenti dimensionate possono essere sommate, sottratte, comparate o messe in relazione. Quando quantità non parimenti dimensionate appaiono ai lati opposti dei segni "+", "−" o "=", tale equazione fisica non è plausibile, e bisogna correggere gli errori prima di procedere a usarla. Quando quantità che sono parimenti dimensionate o meno vengono moltiplicate o divise, i loro simboli dimensionali vengono similarmente moltiplicati o divisi. Quando quantità dimensionali vengono elevate a una potenza razionale, lo stesso accade ai simboli collegati a tali quantità.

Gli argomenti delle funzioni esponenziale, trigonometriche e logaritmiche devono essere adimensionali e scalari. Il logaritmo di 3 kg è indefinito, ma il logaritmo di 3 è circa 0.477. Questo deriva essenzialmente dal requisito che i termini della serie di Taylor devono essere omogenei dimensionalmente. In realtà si potrebbero usare degli argomenti tensoriali (Hart, 1995).

Il valore di una quantità fisica dimensionale si scrive come il prodotto di una unità dimensionale e di un fattore adimensionale. A rigore, quando quantità dimensionali sono sommate, sottratte o comparate, il risultato di queste operazioni deve potersi esprimere in unità consistenti e cioè tali che i valori numerici di queste quantità possano essere direttamente sommati o sottratti. Del resto, non c'è nessun problema concettuale nell'addizionare quantità che hanno le stesse dimensioni ma che sono espresse in unità diverse. Per esempio, 1 metro più 1 piede fanno una lunghezza, ma non sarebbe corretto dire che il risultato si ottiene sommando 1 + 1.

È necessario un fattore di conversione, il quale è un rapporto di quantità egualmente dimensionate ed è uguale ad una unità adimensionale:

$1\ {\mbox{ft}}=0.3048\ {\mbox{m}}\$ è come dire $1={\frac {0.3048\ {\mbox{m}}}{1\ {\mbox{ft}}}}\$

Il fattore $0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}$ è identico all'uno adimensionale, quindi moltiplicare per questo fattore di conversione non cambia niente (nell'unità di misura). Inoltre quando si sommano due quantità di simile dimensione, ma espresse in diverse unità, il fattore di conversione appropriato, che è essenzialmente l'uno adimensionale, viene usato per convertire le quantità in unità identiche, in modo che il loro valore numerico possa essere sommato o sottratto.

$1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\$	$=1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\times 0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}\$
	$=1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\!\!\!\!/\times 0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{{\mbox{ft}}\!\!\!\!/}}\$
	$=1\ {\mbox{m}}+0.3048\ {\mbox{m}}\$
	$=1.3048\ {\mbox{m}}\$

Solo in questa maniera è significativo dire che si sommano quantità similmente dimensionate di unità diverse.

L'analisi dimensionale viene anche utilizzata per derivare relazioni tra le quantità fisiche che sono coinvolte in particolare fenomeno che si desidera capire e caratterizzare. Fu utilizzata per la prima volta in questa maniera nel 1872 da Lord Rayleigh, che stava cercando di capire perché il cielo è blu.

Un semplice esempio

Qual è il periodo di oscillazione $T$ di una massa $m$ attaccata a una molla ideale con costante elastica $k$ sospesa in un campo gravitazionale di intensità $g$? Le quattro quantità hanno le seguenti dimensioni: $T$ [T]; $m$ [M]; $k$ [M/T^2]; $g$ [L/T^2]. Da queste possiamo solo formare un prodotto adimensionale di forze delle nostre variabili, $G_{1}$ = $T^{2}k/m$. Il prodotto adimensionale delle forze delle variabili a volte viene identificato come un gruppo di variabili adimensionali, ma il gruppo, $G_{1}$, viene inteso come "collezione" piuttosto che come gruppo matematico. Vengono anche spesso chiamati Gruppi adimensionali.

Da notare che nessun altro prodotto adimensionale di forze che coinvolge $g$ con $k$, $m$, $T$ e $g$ stesso può essere fatto, poiché solo $g$ coinvolge la lunghezza (L). L'analisi dimensionale può portare a forti dichiarazioni sulla irrilevanza di alcune quantità in un problema, o la necessità di altri parametri. Se abbiamo scelto abbastanza variabili per descrivere il problema in modo appropriato, allora in questo problema possiamo concludere che il periodo di oscillazione della massa sulla molla è indipendente da $g$: è lo stesso sia sulla Terra che sulla luna. L'equazione che dimostra l'esistenza di un prodotto di forze per il nostro problema può essere riscritta in una maniera interamente equivalente: $T=\kappa {\sqrt {m/k}}$, per qualsiasi costante adimensionale $\kappa$.

Quando ci si trova di fronte a un caso dove la nostra analisi rifiuta una variabile (in questo caso $g$) che siamo davvero sicuri che appartenga a una descrizione fisica della situazione, potremmo anche considerare la possibilità che la variabile rifiutata sia effettivamente rilevante e che qualche altra variabile importante sia stata omessa, la quale potrebbe combinarsi con la variabile rifiutata per formare una quantità adimensionale. Tuttavia la cosa non accade nel nostro caso particolare.

Quando l'analisi dimensionale porta a una soluzione di problemi dove viene coinvolto solo un prodotto adimensionale di forze, come qui, non ci sono funzioni sconosciute, e la soluzione viene detta "completa".

Un esempio più complesso

Consideriamo il caso di un filo vibrante di lunghezza l [$L$] che vibra con una ampiezza A [$L$]. Il filo ha una densità lineare di ρ [$M/L$] ed è teso con una tensione s [$ML/T^{2}$]. Vogliamo conoscere l'energia E contenuta nel filo. Si può facilmente trovare che possiamo formare due prodotti adimensionali di forze nelle variabili scelte.

$\pi _{1}=E/As$ e $\pi _{2}=\ell /A$.

Forse sorprendentemente, come la g nel semplice esempio dato sopra, la densità lineare del filo non viene coinvolta nel problema. I due gruppi trovati possono essere combinati in una forma equivalente come un'equazione

$F(E/As,\ell /A)=0,\,$

dove F è una funzione sconosciuta o equivalentemente come

$E=Asf(\ell /A),\,$

dove f è una qualche altra funzione sconosciuta. Qui la funzione sconosciuta implica che la nostra soluzione è incompleta, ma l'analisi dimensionale ci ha comunque dato qualcosa che potrebbe non essere stata ovvia: l'energia è proporzionale alla forza di tensione iniziale. Escludendo ulteriori analisi analitiche, potremmo procedere in esperimenti volti a scoprire la forma della funzione sconosciuta f. Ma i nostri esperimenti sono più semplici rispetto a come sarebbero senza l'analisi dimensionale. Non ne faremmo nessuno per verificare che l'energia è proporzionale alla tensione. O forse potremmo ipotizzare che l'energia è proporzionale a $\ell$, e quindi dedurre che $E=\ell s$. L'utilità dell'analisi dimensionale come aiuto negli esperimenti e nel formare ipotesi è evidente.

La forza dell'analisi dimensionale diventa invece evidente quando la si applica a situazioni, a differenza di quelle sopra, che sono più complicate, il cui set di variabili coinvolte non sono chiare, e le equazioni implicate sono inevitabilmente complesse. Consideriamo per esempio un piccolo ciottolo nel letto di un fiume. Se il fiume scorre abbastanza veloce, solleverà il sasso e lo farà scorrere insieme con l'acqua. Qual è la velocità critica per cui questo accada? Ordinare le variabili calcolate non è facile come prima. Ma l'analisi dimensionale può essere comunque un valido aiuto nel capire problemi come questo, ed è di solito il primo strumento da applicare a problemi complessi nei quali la comprensione delle equazioni sottointese e delle costanti è difficile.

Aggiunta di Huntley

Huntley (Huntley, 1967) ha affermato che a volte è produttivo raffinare il concetto di dimensione. Due possibilità in questo senso sono:

• La magnitudo delle componenti di un vettore devono venire considerate come dimensionalmente distinte. Per esempio, piuttosto che un'unità di lunghezza indifferenziata L, potremmo avere $L_{x}$ che rappresenta la lunghezza nella direzione x, e così via. Questo bisogno deriva direttamente dalla necessità che ogni componente di un'equazione fisicamente significativa (scalare vettoriale o tensore) deve essere dimensionalmente consistente.

• La massa come misura di quantità deve essere considerata dimensionalmente distinta dalla massa come misura di inerzia.

Come esempio dell'utilità del primo raffinamento, supponiamo di desiderare di calcolare la distanza che percorre una palla di cannone quando viene sparata con una componente verticale di velocità $V_{y}$ ed una componente orizzontale $V_{x}$, assumendo che venga sparata su di una superficie piana. Ipotizzando di non utilizzare le lunghezze direzionate, le quantità di interesse sono allora $V_{x}$, $V_{y}$, entrambe di dimensione $L/T$, R, la distanza percorsa, con dimensione L, e g l'accelerazione negativa di gravità, con dimensione $L/T^{2}$.

Con queste quattro quantità, potremmo concludere che l'equazione per la gittata R si può scrivere:

$R\propto V_{x}^{a}\,V_{y}^{b}\,g^{c}.\,$

O dimensionalmente

$L=(L/T)^{a+b}(L/T^{2})^{c}\,$

dalla quale possiamo dedurre che $a+b+c=1$ e $a+b+2c=0$, il che lascia un esponente indeterminato. Questo è da prevedere siccome abbiamo due unità fondamentali L e T e quattro parametri, con una sola equazione.

Se, tuttavia, usiamo le lunghezze direzionate, allora $V_{x}$ sarà dimensionato come $L_{x}/T$, $V_{y}$ come $L_{y}/T$, R come $L_{x}$ e g come $L_{y}/T^{2}$. L'equazione dimensionata diventa:

$L_{x}=(L_{x}/T)^{a}\,(L_{y}/T)^{b}(L_{y}/T^{2})^{c}\,$

e potremmo risolvere completamente come $a=1$, $b=1$ e $c=-1$. L'aumento del potere deduttivo guadagnato tramite l'uso di dimensioni di lunghezza direzionate sembra chiaro.

In una maniera simile, è a volte utile (nella meccanica dei fluidi e nella termodinamica) distinguere tra la massa come misura di inerzia (massa inerziale), e massa come misura di quantità (massa sostanziale). Per esempio, consideriamo la derivazione della Legge di Poiseuille. Vogliamo trovare l'andamento del flusso di massa di un fluido viscoso attraverso un tubo circolare. Senza porre distinzioni tra massa inerziale e massa sostanziale potremmo scegliere come variabili rilevanti:

• ${\dot {m}}$ la massa dell'andamento del flusso con dimensione $M/T$
• $p_{x}$ il gradiente di pressione lungo il tubo con dimensione $M/L^{2}T^{2}$
• $\rho$ la densità con dimensione $M/L^{3}$
• $\eta$ la viscosità dinamica del fluido con dimensione $M/LT$
• $r$ il raggio del tubo con dimensione $L$

Ci sono tre variabili fondamentali, così che le cinque equazioni sopra genereranno due variabili adimensionali, che potremmo prendere per $\pi _{1}={\dot {m}}/\eta r$ e $\pi _{2}=p_{x}\rho r^{5}/{\dot {m}}^{2}$ e potremmo esprimere l'equazione dimensionale come

$C=\pi _{1}\pi _{2}^{a}=\left({\frac {\dot {m}}{\eta r}}\right)\left({\frac {p_{x}\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}\right)^{a}$

dove C e a sono costanti indeterminate. Se mettiamo invece una distinzione tra massa inerziale con dimensione $M_{i}$ e massa sostanziale con dimensione $M_{s}$, allora l'andamento del flusso e la sua densità useranno la massa sostanziale, mentre il gradiente di pressione ed il coefficiente di viscosità useranno la massa inerziale. Abbiamo ora quattro parametri fondamentali, e una costante adimensionale, quindi potremmo scrivere l'equazione dimensionale come:

$C={\frac {p_{x}\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}$

dove solo C è una costante indeterminata (che si troverà essere uguale a $\pi /8$ con metodi esterni all'analisi dimensionale). Questa equazione si potrebbe risolvere per l'andamento del flusso della massa generando la Legge di Poiseuille.

Inconvenienti e perfezionamenti: l'analisi orientazionale

L'aggiunta di Huntley ha qualche serio inconveniente. Non se la cava bene con le equazioni vettoriali che coinvolgono prodotti incrociati, ne affronta bene l'uso degli angoli come variabili fisiche. È anche spesso difficile assegnare i simboli di L, $L_{x}$, $L_{y}$, $L_{z}$ alle variabili fisiche coinvolte nel problema di interesse. Egli invoca una procedura che implica la "simmetria" del problema fisico. Questo è spesso difficile da applicare affidabilmente: non è chiaro quali sono le parti del problema dove la nozione di "simmetria" è invocata. È la simmetria del corpo fisico sul quale agiscono le forze, o dei punti, delle linee o delle aree sui quali le forze sono applicate? Cosa succede se più di un corpo viene coinvolto con diverse simmetrie? Si consideri una bolla sferica attaccata ad un tubo cilindrico, dove si vuole calcolare l'andamento del flusso dell'aria come funzione della differenza di pressione tra le due parti. Quali sono le dimensioni estese di Huntley della viscosità dell'aria contenuta nelle parti connesse? Quali sono le dimensioni estese della pressione nelle due parti? Sono uguali o diverse? Queste difficoltà sono responsabili delle limitata applicazione dell'aggiunta di Huntley ai problemi reali.

Gli angoli vengono convenzionalmente considerati variabili adimensionali, e quindi l'uso degli angoli come variabili fisiche in una analisi dimensionale da risultati meno significativi. Come esempio, consideriamo il problema del proiettile menzionato sopra. Supponiamo che invece delle componenti x- e y- della velocità iniziale avessimo scelto il modulo della velocità v e l'angolo $\theta$ con cui viene sparato il proiettile. L'angolo viene convenzionalmente considerato adimensionale, e il modulo di un vettore non ha qualità direzionali, quindi nessuna variabile adimensionale può essere composta dalle quattro variabili g, v, R, e θ. L'analisi convenzionale darebbe correttamente le forze di g e di v, ma non darebbe informazioni riguardanti l'angolo adimensionale θ.

Siano (Siano, 1985-I, 1985-II) ha suggerito che le dimensioni direzionate di Huntley siano rimpiazzate usando simboli orientazionali $1_{x},\;1_{y},\;1_{z}$ per denotare le direzioni vettoriali, e simboli non orientazionali $1_{0}\,$ per le altre grandezze. Quindi, il $L_{x}$ di Huntley diviene $L\,1_{x}$ con L $nbsp; che specifica la dimensione della lunghezza, e $1_{x}$ che specifica l'orientamento. Siano mostra inoltre che i simboli orientazionali hanno una loro propria algebra. Assieme al requisito che $1_{i}^{-1}=1_{i}$, risulta la seguente matrice di moltiplicazione per i simboli di orientamento:

${\begin{matrix}&\mathbf {1_{0}} &\mathbf {1_{x}} &\mathbf {1_{y}} &\mathbf {1_{z}} \\\mathbf {1_{0}} &1_{0}&1_{x}&1_{y}&1_{z}\\\mathbf {1_{x}} &1_{x}&1_{0}&1_{z}&1_{y}\\\mathbf {1_{y}} &1_{y}&1_{z}&1_{0}&1_{x}\\\mathbf {1_{z}} &1_{z}&1_{y}&1_{x}&1_{0}\end{matrix}}$

Si noti che i simboli orientazionali formano un gruppo (il Gruppo di Klein o "viergruppe"). In questo sistema gli scalari hanno sempre lo stesso orientamento come l'elemento di identità, indipendentemente dalla "simmetria del problema". Le quantità fisiche vettoriali hanno l'orientamento atteso: una forza o una velocità nella direzione-x ha l'orientamento di $1_{x}$. Per gli angoli, si consideri un angolo θ che giace nel piano z. Si formi un triangolo rettangolo nel piano z con θ come uno degli angoli acuti. Il lato del triangolo rettangolo adiacente all'angolo ha allora orientamento $1_{x}$ e il lato opposto ha orientamento $1_{y}$. Allora, siccome tan(θ) = ly/lx = θ + ..., concludiamo che un angolo nel piano xy deve avere un orientamento $1_{y}$/$1_{x}$ = $1_{z}$, che non è irragionevole. Ragionamenti analoghi forzano la conclusione che sin(θ) ha orientamento $1_{z}$ mentre cos(θ) ha orientamento $1_{0}$. Questi sono diversi, così che si può concludere (correttamente), per esempio, che non ci sono soluzioni per le equazioni fisiche nella forma a sin(θ) + b cos(θ), dove a e b sono scalari.

L'assegnamento di simboli orientazionali a quantità fisiche e la necessità che le equazioni fisiche siano orientazionalmente omogenee può effettivamente venire usata in un modo che è simile all'analisi dimensionale per derivare qualche informazione in più sulle soluzioni accettabili dei problemi fisici. In questo approccio si prepara l'equazione dimensionale e la si risolve nel modo in cui si riesce. Se la potenza più bassa di una variabile fisica è frazionaria, entrambi i lati dell'equazione vengono elevati in modo che tutte le potenze siano intere. Questo pone il problema in "forma normale". L'equazione orientazionale viene quindi risolta per dare una condizione più restrittiva alle potenze sconosciute dei simboli orientazionali, arrivando ad una soluzione più completa di quella che si otterrebbe con la sola analisi dimensionale. Spesso l'informazione aggiunta è che una delle potenze di una certa variabile è pari o dispari.

Per esempio, per il problema del proiettile, se si usano simboli orientazionali, θ, essendo nel piano x-y avrà quindi dimensione $1_{z}$ e la gittata del proiettile R sarà espressa nella forma:

$R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}$ che significa $L\,1_{x}\sim \left({\frac {L\,1_{y}}{T^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {L}{T}}\right)^{b}\,1_{z}^{c}$

L'omogeneità dimensionale genererà ora correttamente a=-1 e b=2, e l'omogeneità orientazionale richiede che c sia un intero pari. Infatti la funzione richiesta di theta sarà $\sin(\theta )\cos(\theta )$ che è una serie di potenze pari di $\theta$.

Si vede che le serie di Taylor di $\sin(\theta )$ e $\cos(\theta )$ sono orientazionalmente omogenee utilizzando la matrice di moltiplicazione sopra, mentre espressioni come $\cos(\theta )+\sin(\theta )$ e $\exp(\theta )$ non lo sono, e sono (correttamente) considerate non fisiche.

Dovrebbe essere chiaro che la regola di moltiplicazione usata per i simboli orientazionali non è la stessa che si usa per il prodotto incrociato di due vettori. Il prodotto incrociato di due vettori uguali è zero, mentre il prodotto di due identici simboli orientazionali è l'elemento identità.

Base filosofica

In conclusione si può vedere che le analisi dimensionali e i requisiti per le equazioni fisiche per essere dimensionalmente omogenee riflettono l'idea che le leggi della fisica sono indipendenti dalle unità di misura impiegate per misurare le variabili fisiche. Questo significa che, per esempio, F = ma vale indipendentemente che il sistema di unità sia il SI, quello inglese, il cgs o qualsiasi altro sistema di unità consistente. L'analisi orientazionale e la necessità per le equazioni fisiche di essere orientazionalmente omogenee riflette l'idea che le equazioni della fisica debbano essere indipendenti dal sistema di coordinate utilizzato.

Costanti adimensionali

Le costanti adimensionali che sorgono nei risultati ottenuti, come la C nel problema della legge di Poiseuille e la $\kappa$ nel problema della molla discussi sopra, vengono da un'analisi più dettagliata della fisica implicita e spesso sorgono dalla integrazione di qualche equazione differenziale. L'analisi dimensionale stessa ha poco da dire su queste costanti, ma è utile sapere che molto spesso hanno un ordine di grandezza zero. Questa osservazione può consentire di fare calcoli sul fenomeno di interesse, ed essere in grado di preparare esperimenti per misurarle più efficientemente, o per decidere se sono importanti o meno.

Teorema di Buckingham

Il Teorema di Buckingham dà le basi per lo strumento principale dell'analisi dimensionale. Questo teorema descrive come ogni equazione fisicamente significativa che coinvolge n variabili può essere equivalentemente riscritta come una equazione di n–m parametri adimensionali, dove m è il numero di dimensioni fondamentali usate. Per di più, e in modo più rilevante, porta a un metodo per calcolare questi parametri adimensionali dalle variabili date, anche se la forma dell'equazione è ancora sconosciuta.

Bibliografia

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Voci correlate

• Grandezza fisica
• Gruppo adimensionale
• Problema di Fermi
• Unità naturali
• Teorema di Buckingham
• Spazio affine, simile ad uno spazio vettoriale senza l'elemento zero, in modo da descrivere le quantità fisiche più fedelmente.

Collegamenti esterni

• Unicalc Live web calculator doing units conversion by dimensional analysis
• http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a4.pdf
• http://www.knowledgedoor.com/1/Unit_Conversion/Dimensional_Analysis.htm
• http://rain.aos.wisc.edu/~gpetty/physunits.html