Legge di Poiseuille

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In fluidodinamica, la legge di Poiseuille (o anche di Hagen-Poiseuille) è una legge costitutiva per un fluido newtoniano in regime laminare, e lega la viscosità alla conducibilità idraulica:[1]

k = \frac {32}{\pi} \frac {S}{\mu}

dove:

  • \mu è la viscosità del fluido considerato;
  • S è la sezione della condotta.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un liquido viscoso che scorre in modo stazionario in una condotta orizzontale a sezione costante e di forma cilindrica. Per risolvere in maniera quantitativa il problema è necessario che la velocità del liquido sia sufficientemente piccola in modo che si crei un flusso laminare a simmetria cilindrica con gli strati esterni del liquido, quelli bagnati dalle pareti aventi velocità nulla e con lo strato centrale avente velocità massima.

Si isoli il sistema fisico costituito dal fluido racchiuso entro il cilindro di raggio r e di lunghezza l avente per basi i due cerchi appartenenti alle sezioni trasversali S_1 e S_2, dove la pressione vale rispettivamente p_1 e p_2.

Si consideri come unica forza di volume agente, la forza peso. In questo caso questa risulta inessenziale, essendo il condotto orizzontale.

La forza di superficie normale alle due sezioni è:

F(S)_N = \Delta p\ r^2\ \pi

La forza di superficie di taglio (parallela al cilindro), è data dalla legge di Newton:

F_{\partial V} = 2 \pi\ r\ l\ \mu\ \frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} r}

dove \mu è la viscosità del liquido e dv/dr è il gradiente di velocità lungo la componente radiale. Per mantenere il moto stazionario è necessario che le forze di pressione compensino esattamente le forze di viscosità. Deve quindi essere:

F(S)_N + F_{\partial V} = 0

Sostituendo e semplificando si deduce che la pressione varia lungo la condotta, diminuendo nella direzione del moto del fluido e che

la velocità diminuisce dal centro verso la periferia con la legge:

\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} r}= -\frac{\Delta p\ r}{2\ \mu\ l}

integrando si ottiene:

v \left ( r \right )= -\frac{r^2}{4\mu} \frac{\Delta p}{l} + C

dove C è la costante di integrazione, che può essere determinata imponendo la condizione di velocità nulla lungo il contorno v(R)=0, dove R è il raggio equivalente della condotta:

v \left ( R \right )= -\frac{R^2}{4\mu} \frac{\Delta p}{l} + C = 0

da cui si ricava C:

C = \frac{R^2}{4 \mu} \frac{\Delta p}{l}

Sostituendo C nell'espressione della velocità si ha:

v \left ( r \right )= \frac{\Delta p}{4\mu\ l} \left ( R^2 - r^2 \right )

Dall'espressione precedente si può determinare la portata volumetrica totale della condotta come integrale di "anelli" di spessore differenziale caratterizzati da velocità v \left ( r \right ) e di differenziale d'area2 \pi r \mbox{d} r:

\dot V = \int_{0}^{R} 2\pi \ r\  v \left ( r \right )\, \operatorname dr = \pi \frac{\Delta p}{2\mu\ l} \int_{0}^{R} R^2 r - r^3 \, \operatorname d r

da cui, risolvendo l'integrale, si ottiene la legge di Poiseuille:

\Delta p = 8\mu {l \over \pi R^4} \dot V = {8\pi \mu l \over S^2} \dot V

L'enunciato della legge era in effetti originariamente:

La portata è direttamente proporzionale al gradiente di pressione ed al quadrato della superficie, ed inversamente proporzionale alla lunghezza del condotto ed alla viscosità del fluido. Quindi si definisce resistenza fluidodinamica il termine:

R = {8\pi \mu l \over S^2}

e la corrispondente conducibilità idraulica è data da:

k = {l \over R S} = \frac {8 S}{\pi\mu}

La legge di Poiseuille è largamente usata nel calcolo delle perdite di carico nel moto dei fluidi nelle condotte.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Silvestroni, p. 201

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10ª ed., CEA, 1996, ISBN 88-408-0998-8.

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