Parte interna: differenze tra le versioni
m Bot: Modifico: ru:Внутренняя точка множества |
m Bot: Aggiungo: ja:内部 (位相空間論) |
||
Riga 77: | Riga 77: | ||
[[he:פנים (טופולוגיה)]] |
[[he:פנים (טופולוגיה)]] |
||
[[is:Iður (mengjafræði)]] |
[[is:Iður (mengjafræði)]] |
||
[[ja:内部 (位相空間論)]] |
|||
[[ko:내부 (위상수학)]] |
[[ko:내부 (위상수학)]] |
||
[[nl:Inwendige (topologie)]] |
[[nl:Inwendige (topologie)]] |
Versione delle 16:51, 28 gen 2010
In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme S consiste in tutti i punti che sono intuitivamente "non sui bordi di S". Un punto della parte interna di S è un punto interno di S. La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.
Definizioni
Punto interno
Se S è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora x è un punto interno di S se esiste una palla aperta centrata in x e contenuta in S.
Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme S di uno spazio metrico X. Espressa per intero, se X è uno spazio metrico con metrica d, allora x è un punto interno di S se esiste r > 0 tale che y sia in S ogni volta che la distanza è d(x, y) < r.
Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora x è un punto interno di S se esiste un intorno di x contenuto in S. Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.
Parte interna
La parte interna di un sottoinsieme S di uno spazio euclideo o di un più generale spazio topologico è l'insieme di tutti i punti interni di S. L'interno di S è indicato con int(S), Int(S), o So. In altre parole:
dove si indica con un intorno di .
L'interno di un insieme ha le seguenti proprietà:
- int(S) è un sottoinsieme aperto di S.
- int(S) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in S.
- int(S) è il più grande insieme aperto contenuto in S.
- Un insieme S è aperto se e solo se S = int(S).
- int(int(S)) = int(S). (idempotenza)
- Se S è un sottoinsieme di T, allora int(S) è un sottoinsieme di int(T).
- Se A è un insieme aperto, allora A è un sottoinsieme di S se e solo se A è un sottoinsieme di int(S).
Talvolta la seconda o la terza proprietà sono usate come definizione della parte interna.
Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.
Esempi
- In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
- In ogni spazio X, int(X) = X.
- Se X è lo spazio euclideo R dei numeri reali, allora int([0, 1]) = (0, 1).
- Se X è lo spazio euclideo R, allora la parte interna dell'insieme Q dei numeri razionali è vuoto.
- Se è il piano complesso , allora
- In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.
Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.
- Se X = R, dove R ha la topologia del limite inferiore, allora int([0, 1]) = [0, 1).
- Se si considera su R la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora int([0, 1]) = [0, 1].
- Se si considera su R la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e R stesso, allora int([0, 1]) è l'insieme vuoto.
Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:
- In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
- In ogni spazio banale X, dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e X stesso, abbiamo int(X) = X e per ogni sottoinsieme proprio A di X, int(A) è l'insieme vuoto.
Operatore parte interna
L'operatore parte interna o è il duale dell'operatore di chiusura −, nel senso che
- So = X \ (X \ S)−,
e anche
- S− = X \ (X \ S)o
dove X indica lo spazio topologico contenente S, e \ indica il complemento di un insieme.
Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.