Raggio di Schwarzschild

Il raggio di Schwarzschild o raggio gravitazionale è un raggio caratteristico associato a ogni massa. Il termine è utilizzato in fisica e astronomia, soprattutto nei campi della teoria della gravitazione e della relatività generale, per designare la distanza dal centro della distribuzione di massa a simmetria sferica, che dà origine alla metrica di Schwarzschild, a cui si trova secondo la relatività generale l'orizzonte degli eventi. Il raggio di Schwarschild è proporzionale alla massa del corpo: il Sole ha un raggio di Schwarzschild di circa 3 km mentre quello della Terra misura 8,869 mm. Altri esempi di valori che assume il raggio di Schwarzschild sono indicati nella seguente tabella:

Oggetto	Raggio di Schwarzschild (m)	Densità corrispondente (g/cm3)
Via Lattea	$2{,}08\cdot 10^{15}$ (~$0{,}2$ a.l.)	$3{,}72\cdot 10^{-8}$
Sole	$2{,}95\cdot 10^{3}$	$1{,}84\cdot 10^{16}$
Terra	$8{,}869\cdot 10^{-3}$	$2{,}04\cdot 10^{27}$
Sagittarius A* (SMBH)	$1{,}27\cdot 10^{10}$
Andromeda (SMBH)	$4{,}68\cdot 10^{11}$
NGC 4889 (SMBH)	$6{,}2\cdot 10^{13}$

Si tratta di una superficie singolare, nel senso che su di essa le coordinate in cui è comunemente espressa la metrica di Schwartzschild perdono di significato a causa di divergenze nel tensore metrico. La singolarità è tuttavia eliminabile, a differenza di quella che ha luogo in un buco nero, ad esempio passando da coordinate sferiche in cui la singolarità è presente a quelle di Kruskal-Szekeresh.

Il raggio di Schwarzschild fu introdotto nel 1916 da Karl Schwarzschild, quando scoprì la soluzione esatta per il campo gravitazionale al di fuori di una stella dotata di simmetria sferica (si veda la metrica di Schwarzschild, che è una soluzione delle equazioni di campo di Einstein).

Un buco nero è definito come l'oggetto le cui dimensioni siano inferiori al suo raggio di Schwarzschild. La superficie individuata da questo raggio funge da orizzonte degli eventi per un corpo statico mentre un buco nero rotante mostra un comportamento leggermente diverso. Le onde elettromagnetiche e la materia non possono superare l'orizzonte degli eventi provenendo dall'interno del corpo e da qui deriva il nome "buco nero". A titolo di esempio, il raggio di Schwarzschild del buco nero supermassiccio situato al centro della nostra Galassia (Sagittarius A* (SMBH)) è pari a circa 12,7 milioni di km.

Un buco nero è quasi sempre molto più piccolo del suo raggio di Schwarzschild, perché continua a contrarsi; il raggio denota solo la distanza minima dal centro del buco nero a cui la luce può passare senza essere inghiottita definitivamente. Infatti all'interno del campo gravitazionale di un buco nero la velocità di fuga risulta superiore a quella della luce, sicché tale zona appare sempre buia.

Formula classica del raggio di Schwarzschild

La formula esprime la velocità di fuga che deve possedere un corpo che si trova a distanza r_s dalla massa M, per sfuggire all'attrazione gravitazionale di quest'ultima.

Noto che nessun corpo può avere una velocità maggiore di quella della luce, la formula permette di calcolare la distanza limite entro cui nessuna massa può allontanarsi da M.

L'espressione matematica del raggio di Schwarzschild può essere ottenuta anche senza ricorrere al complesso formalismo matematico della relatività generale, cercando il raggio di un corpo di massa M per cui la velocità di fuga è pari alla velocità della luce. Si può risolvere questo problema utilizzando l'energia cinetica e l'energia potenziale gravitazionale del corpo in questione:

$E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

in cui $v=c$ cioè la velocità della luce

$E_{g}=mg(h)h=hG{\frac {mM}{d^{2}}}$

in cui h (altezza)=d (distanza dal centro del corpo) e quindi

$E_{g}=G{\frac {mM}{d}}$

eguagliando le energie si ottiene

${\frac {1}{2}}mc^{2}=G{\frac {mM}{d}}$

a questo punto si dividono entrambi i membri dell'equazione per la massa non nulla dell'oggetto in fuga mettendo in evidenza d che corrisponde al raggio di Schwarzschild

$r_{s}=\displaystyle {\frac {2GM}{c^{2}}}$

dove

$r_{s}$ è il raggio di Schwarzschild;

$G$ è la costante di gravitazione universale, pari a circa 6,67×10⁻¹¹ N m²/ kg²;

M è la massa dell'oggetto;

c² è il quadrato della velocità della luce nel vuoto, pari a (299 792 458 m/s)²; = 8,98755×10¹⁶ m²/s².

La costante di proporzionalità $2G/c^{2}$vale circa 1,48×10⁻²⁷ m / kg.

Una forma approssimata della formula è la seguente:

r_s = 1,48×10⁻²⁷ × M

Il diametro di un nucleo di atomo è circa , per cui una forza tale da portare l'unità di massa a diametri inferiori a questo valore dovrebbe vincere le forze nucleari che tengono unito l'atomo.

In ogni caso, il raggio di Schwarzschild non può essere mai minore del doppio della lunghezza di Planck, né la massa minore della massa di Planck.

Classificazione dei buchi neri a seconda del raggio di Schwarzschild

A seconda dell'ordine di grandezza della massa, e quindi del raggio, i buchi neri sono classificati in tre categorie: supermassicci, stellari e primordiali. Questa classificazione, come suggerisce il nome, è strettamente legata ai diversi processi che hanno dato origine ai diversi tipi di buchi neri.

Buchi neri supermassicci

Accumulando materia di densità ordinaria, ad esempio 1 000 kg/m³, come la densità dell'acqua che per coincidenza è abbastanza simile alla densità media del Sole, fino a raggiungere circa 150 milioni di volte la massa del Sole, un agglomerato assume dimensioni inferiori al suo raggio di Schwarzschild, assumendo i connotati di un buco nero supermassiccio (o supermassivo) di 150 milioni di masse solari (si ritiene che un limite superiore per la classe dei buchi neri supermassicci potrebbe essere pari ad alcuni miliardi di masse solari). L'esistenza di un buco nero supermassiccio, dalla massa pari a oltre 2,5 milioni di masse solari, al centro della via Lattea è la migliore prova sperimentale sinora trovata per giustificare l'esistenza dei buchi neri in generale. Si ritiene che i buchi neri supermassicci non si formino direttamente dal collasso di una stella o di un ammasso stellare; potrebbero piuttosto avere origine come buchi neri di dimensioni stellari e accrescere gradualmente la propria massa grazie alla cattura di altri corpi celesti e alla fusione con altri buchi neri. Maggiore è la massa complessiva di una galassia, maggiore sarà la massa del buco nero supermassiccio posto al centro di essa.

Buchi neri stellari

Accumulando materia con una densità simile a quella di un nucleo atomico (circa 10¹⁸ kg/m³, anche le stelle di neutroni sono caratterizzate da un simile valore di densità) fino a raggiungere circa 3 masse solari, un agglomerato collassa entro le dimensioni del suo raggio di Schwarzschild, divenendo un buco nero stellare.

Buchi neri primordiali

Il raggio di Schwarzschild associato a una piccola massa è estremamente ridotto. Una massa pari a quella del monte Everest è caratterizzata da un raggio di Schwarzschild inferiore a un nanometro; nessun meccanismo oggi noto sarebbe in grado di generare un oggetto così compatto. Buchi neri di questo tipo potrebbero essersi formati in una fase primordiale dell'evoluzione dell'universo, poco dopo il Big Bang, quando la densità della materia era estremamente alta. Questi ipotetici buchi neri di piccole dimensioni sono noti come buchi neri primordiali.

Curiosità

Il racconto fantascientifico "Il raggio di Schwarzschild", opera di Connie Willis, fornisce una spiegazione accessibile e al tempo stesso sufficientemente accurata del concetto di raggio di Schwarzschild.

Voci correlate

• Karl Schwarzschild
• Spazio-tempo di Schwarzschild

Collegamenti esterni

• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/blahol.html#c2