Somma di Ramanujan

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Nella teoria dei numeri, la somma di Ramanujan, in genere indicata con la notazione , è una funzione di due variabili intere q ed n nella formula

dove (a, q) = 1 significa che a assume solamente valori coprimi con q. Quindi, (a, q) indica il massimo comune divisore di a e q, pari a 1, e . Gli addendi nella somma sono potenza di una delle radici dell'unità complesse.

Srinivasa Ramanujan trattò per la prima volta questa formula all'interno di appunti scritti nel 1918.[1] Oltre alle estensioni prese in esame in questo articolo, la somma di Ramanujan è utilizzata anche nella dimostrazione del teorema di Vinogradov, secondo il quale ogni numero dispari sufficientemente grande è la somma di tre numeri primi.[2]

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

Dati due interi a e b, si legge «a divide b» e significa che esiste un intero c tale che b = ac. Analogamente, si legge «a non divide b». Il simbolo di sommatoria

,

significa che d passa attraverso tutti i possibili divisori di m, es.

è il massimo comune divisore,
è la funzione φ di Eulero,
è la funzione di Möbius,
è la funzione zeta di Riemann.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

La premessa di base delle somme di Ramunujan è la loro moltiplicatività

se (e c_k(n) è ora la somma di Ramunujan).

Tramite la Funzione di Möbius :, abbiamo:

Molte delle funzioni moltiplicative dall'argomento naturale possono essere disposti in righe su c _ {k} (n). È vero anche il contrario.

La proprietà di base (moltiplicativa) delle somme di Ramanujan vi permetterà di calcolare somme della forma:

,

dove è una funzione moltiplicativa, q un numero intero , s in generale un numero complesso.

Nel caso più semplice, otteniamo:

dove è la funzione zeta di Riemann.

Formule per cq(n)[modifica | modifica wikitesto]

Trigonometria[modifica | modifica wikitesto]

Queste formule discendono dalla formula di Eulero , e da alcune elementari identità di trigonometria.

Dalla formula risulta che cq(n) è sempre reale.

Kluvyer[modifica | modifica wikitesto]

Sìa ; allora ζq è una radice dell'equazione xq − 1 = 0. Ciascuna delle sue potenze ζq, ζq2, ... ζqq = ζq0 = 1, è anch'essa una radice dell'equazione. I numeri ζqn dove 1 ≤ nq, sono dette la q-esima Radice dell'unità.
ζq è nota come la q-esima radice dell'unità primitiva perché q è il più piccolo valore d n che rende ζqn = 1. L'altra radice dell'unità q-esima primitiva sono i numeri ζqa, dove (a, q) = 1. Pertanto, esistono φ(q) radici dell'unità q-esime primitive.

Possiamo dire che la somma di Ramanujan cq(n) è la somma delle n-esime potenze della radice dell'unità q-esima primitiva.

È un fatto che le potenze di ζq sono esattamente le radici primitive per tutti i divisori di q.[3]

Esempio. Sia q = 12. Allora

ζ12, ζ125, ζ127, e ζ1211 sono le dodicesime radici dell'unità primitive,
ζ122 e ζ1210 sono le seste radici dell'unità primitive,
ζ124 and ζ128 sono le quarte radici dell'unità primitive,
ζ126 = −1 sono le seconde radici dell'unità primitive,
ζ1212 = 1 è la prima radice dell'unità primitiva.

Quindi, se

è la somma delle n-esime potenze di tutte le radici, primitive e non primitive,

e, per la Formula di inversione di Möbius,

Dalla identità xq − 1 = (x − 1)(xq−1 + xq−2 + ... + x + 1) , segue che

e ciò conduce alla formula

,

pubblicata da Kluvyer nel 1906.[4]

Ciò mostra che cq(n) è sempre un intero. Si confronti con la formula

Von Sterneck[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione è facile dimostrare che cq(n) è una funzione moltiplicativa quando la si considera una funzione di q per un valore di n fissato::[5] es.

Dalla definizione (o dalla formula di Kluvyer) è immediato dimostrare che, se p è un numero primo

e che, se pk è una prima potenza dove k > 1,

Questo risultato e la proprietà moltiplicativa possono essere usati per provare che

nota come la funzione aritmetica di von Sterneck.[6] L'equivalenza fra questa e la somma di Ramanujan fu provata da Hölder.[7][8]

Altre proprietà di cq(n)[modifica | modifica wikitesto]

Per tutti i q interi positivi,

Per un valore fissato di q, il valore assoluto della sequenza

cq(1), cq(2), ... è limitato da φ(q), e

per un valore fissato di n, il valore assoluto della sequenza

c1(n), c2(n), ... è limitato da n

Se q > 1

Sìa m1, m2 > 0, m = lcm(m1, m2). Allora[9], la somma di Ramanujan soddisfa la proprietà di ortogonalità:

Sìa n, k > 0. Allora[10],

,

nota come l'identità di Brauer-Rademacher.

Se n > 0 e a è intero, abbiamo anche che[11]

scoperta da Cohen.

Relazioni con altre funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Se f(n) è una funzione aritmetica, si dice 'estensione di Ramanujan[12] per f(n)

,

oppure anche la forma

,

dove akC.

In particolare, per s reale >= 1, si ottiene la Serie di Dirichlet

,

dove σ è la Funzione sigma e ζ è la funzione zeta di Riemann. Per s = 1 e s = 2, essa diventa

,

e

,

rispettivamente.

Altre identità ottenute da Ramanujan sono:

e

,

dove r2(n) è il numero di rappresentazioni di n nella forma x2 + y2 (x, y interi).

Estensioni di Ramanujan[modifica | modifica wikitesto]

Sìa f(n) una funzione aritmetica (ad esempio una funzione a valori complessi dei numeri interi o dei numeri naturali), allora una serie infinita convergente nella forma

oppure

dove akC}}, è chiamata estensione di Ramanujan [12] di f(n).

Ramanujan trovò estensioni per alcune delle più note funzioni nella teoria dei numeri. Tutti questi risultati teorici vengono provati con una strumentazione matematica elementare (ad esempio utilizzando manipolazioni formali delle serie oppure i risultati riguardo alla convergenza)[13][14][15]

L'estensione della funzione zero dipende da un risultato della teoria analitica dei numeri primi, e precisamente dal fatto che la serie

converge a 0, mentre per r(n) e r′(n) dipende da teoremi in uno scritto precedente .[16].

Tutte le formule riportate in questo paragrafo sono relative al paper di Ramanujan del 1918.

Funzione generatrice[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni generatrici delle somme di Ramanujan sono serie di Dirichlet:

è la funzione generatrice della successione cq(1), cq(2), ...dove q è una costante data, e

è la funzione generatrice della successione c1(n), c2(n), ... dove n è una costante data.

Abbiamo inoltre la doppia serie di Dirichlet

σk(n)[modifica | modifica wikitesto]

σk(n) è la funzione sigma (es. la somma della k-esime potenze dei divisori di n, inclusi 1 ed n). σ0(n), il numero dei divisori di n, è in genere scritto d(n) e σ1(n), la somma dei divosri di n, è in genere scritto come σ(n).

Se s > 0,

e

Ponendo s = 1, si ha

Se l'Ipotesi di Riemann è vera, e

d(n)[modifica | modifica wikitesto]

d(n) = σ0(n) è il numero di divisori di n, inclusi 1 ed n.

dove γ = 0.5772... è la costante di Eulero-Mascheroni.

φ(n)[modifica | modifica wikitesto]

φ(n) è il numero di interi positivi minori di n e coprimi con n. Ramanujan definì una generalizzazione di essa, se:

è la scomposizione di n in fattori di primi, ed s un numero complesso, si ottiene

in modo tale che φ1(n) = φ(n) è la funzione di Eulero.[17]

Egli dimostrò che

ed usò tale risultato per provare che

ponendo s = 1,

Si noti che la costante è l'inverso[18] di quella che compare nella formula per σ(n).

Zero[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni n > 0,

che è equivalente al teorema dei numeri primi.[6][19]

r2s(n) (somma di quadrati perfetti)[modifica | modifica wikitesto]

r2s(n) è il numero di modi possibili per rappresentare n come la somma di due numeri quadrati perfetti, conteggiando come differenti due diversi ordini degli addendi o segni (es., r2(13) = 8, as 13 = (±2)2 + (±3)2 = (±3)2 + (±2)2.)

Ramanujan definì una funzione δ2s(n) e pubblicò un paper[16] in cui provò che r2s(n) = δ2s(n) per s = 1, 2, 3, e 4. Per s > 4 provò che δ2s(n) è una buona approssimazione per r2s(n).

s = 1 ha una formula particolare:

Nelle formule seguenti i segni si ripetono con una periodicità di 4.

Se s ≡ 0 (mod 4),

Se s ≡ 2 (mod 4),

Se s ≡ 1 (mod 4) e s > 1,

Se s ≡ 3 (mod 4),

e pertanto,

Tabella[modifica | modifica wikitesto]

Ramanujan Sum cs(n)
  n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1
3 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2
4 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2
5 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4
6 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2
7 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1
8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0
9 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3
10 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4
11 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
12 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4
13 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1
14 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1
15 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8
16 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0
17 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 16 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
18 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 0 0 3 0 0 6 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3
19 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
20 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 8 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8
21 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 1 1 −2 1 −6 −2 1 1 −2 1 1 12 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2
22 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −10 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 10 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1
23 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 22 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
24 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 −8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 4 0 0
25 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 20 0 0 0 0 −5
26 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −12 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 12 1 −1 1 −1
27 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0
28 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −12 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 12 0 2
29 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 28 −1
30 −1 1 2 1 4 −2 −1 1 2 −4 −1 −2 −1 1 −8 1 −1 −2 −1 −4 2 1 −1 −2 4 1 2 1 −1 8

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums ...

    These sums are obviously of great interest, and a few of their properties have been discussed already. But, so far as I know, they have never been considered from the point of view which I adopt in this paper; and I believe that all the results which it contains are new.

    (Papers, p. 179). In a footnote cites pp. 360–370 of the Dirichlet-Dedekind Vorlesungen über Zahlentheorie, 4th ed.
  2. ^ Nathanson, ch. 8
  3. ^ Hardy & Wright, Thms 65, 66
  4. ^ G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, & B. M. Wilson, notes to On certain trigonometrical sums ..., Ramanujan, Papers, p. 343
  5. ^ Schwarz & Spilken (1994) p.16
  6. ^ a b B. Berndt, commentary to On certain trigonometrical sums..., Ramanujan, Papers, p. 371
  7. ^ Knopfmacher, p. 196
  8. ^ Hardy & Wright, p. 243
  9. ^ Tóth, external links, eq. 6
  10. ^ Tóth, external links, eq. 17.
  11. ^ Tóth, external links, eq. 8.
  12. ^ a b B. Berndt, commentary to On certain trigonometrical sums..., Ramanujan, Papers, pp. 369–371
  13. ^ Ramanujan, On certain trigonometrical sums...

    The majority of my formulae are "elementary" in the technical sense of the word — they can (that is to say) be proved by a combination of processes involving only finite algebra and simple general theorems concerning infinite series

    (Papers, p. 179)
  14. ^ The theory of formal Dirichlet series is discussed in Hardy & Wright, § 17.6 and in Knopfmacher.
  15. ^ Knopfmacher, ch. 7, discusses Ramanujan expansions as a type of Fourier expansion in an inner product space which has the cq as an orthogonal basis.
  16. ^ a b Ramanujan, On Certain Arithmetical Functions
  17. ^ This is Jordan's totient function, Js(n).
  18. ^ Cf. Hardy & Wright, Thm. 329, which states that
  19. ^ Hardy, Ramanujan, p. 141

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • László Tóth, Sums of products of Ramanujan sums, 2011.
  • Hardy G. H., Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, Providence (Rhode Island), AMS/Chelsea, 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0.
  • Knopfmacher John, Abstract Analytic Number Theory, 2ª ed., New York, Dover, 1990 [1975], ISBN 0-486-66344-2.
  • Nathanson Melvyn B., A.7, in Additive Number Theory: the Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1996, p. 164, ISBN 0-387-94656-X.
  • Some formulas involving Ramanujan sums, Canad. J. Math., 1962, pp. 284–286, DOI:10.4153/CJM-1962-019-8.
  • Ramanujan Srinivasa, On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers, 22 15 1918, pp. 159–184 e 259–276.
  • Ramanujan Srinivasa, Collected Papers, Providence (Rhode Island), AMS/Chelsea, 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6.
  • Wolfgang Schwarz Jürgen Spilker, Arithmetical Functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties, in London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, 1994, p. 184, ISBN 0-521-42725-8.
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