Potenziale di Liénard-Wiechert

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In fisica, i potenziali di Liénard-Wiechert descrivono il campo elettromagnetico generato da una carica elettrica in moto a partire dai potenziali del campo. Costruiti direttamente a partire dalle equazioni di Maxwell, i potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto.

Le espressioni dei potenziali sono state sviluppate in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert[1] in un modo indipendente da quello di Liénard.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il potenziale elettromagnetico generato nel punto da una sorgente puntiforme di carica in moto è dato da:[2]

dove è la quadrivelocità della carica, la sua posizione e il tempo proprio. Nell'equazione la velocità e la posizione vengono valutati al tempo , che è definito dalla condizione del cono di luce:

Tale condizione implica che:

e pertanto permette di scrivere:

con vettore unitario che ha la direzione di .

Si ottiene in questo modo una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico e del potenziale magnetico generati da una sorgente puntiforme di carica in moto:[3]

con:

Espressione dei campi[modifica | modifica wikitesto]

A partire dai potenziali è possibile ricavare le espressioni dei campi utilizzando la loro definizione:

ottenendo per il campo elettrico:

e per il campo magnetico:[4]

con:

dove è il fattore di Lorentz. il termine nell'espressione del campo elettrico impone che la direzione del primo termine del campo sia lungo la congiungente con la posizione della carica, mentre il secondo termine, dovuto all'accelerazione della carica, è perpendicolare a .

L'espressione dei campi è in questo modo data dalla somma di due contributi: il primo è detto campo di Coulomb generalizzato e decresce come il reciproco del quadrato della distanza dalla carica, il secondo è detto campo di radiazione e decresce come il reciproco della distanza dalla sorgente, e quindi è dominante lontano dalla carica. In entrambi i casi il campo di Coulomb generalizzato è relativo alla velocità della carica, mentre il campo di radiazione è generato dall'accelerazione.

Derivazione dall'equazione delle onde[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziali ritardati ed Equazione delle onde.

La soluzione al tempo ritardato dell'equazione delle onde non omogenea per i potenziali del campo elettromagnetico è la seguente:

dove e sono i termini sorgente, e:

è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in con velocità , le densità di carica e corrente assumono la forma:

Se si integra sul volume , utilizzando la relazione precedente si ottiene:

ed integrando in si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert.[5]

Equazione di Larmor[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Larmor.

Se si trascura il campo di Coulomb generalizzato, la componente radiale del vettore di Poynting, risultante dall'espressione di Liénard–Wiechert dei campi, è data da:[6]

dove il secondo membro, a differenza del primo, non è valutato al tempo ritardato.

La relazione spaziale tra e determina la distribuzione di potenza angolare, ed il fattore al denominatore mostra la presenza degli effetti relativistici nel passaggio dal sistema di riferimento a riposo della particella al sistema di riferimento dell'osservatore.

L'energia irradiata per angolo solido durante un'accelerazione tra gli istanti e è data da:

Integrando tale espressione su tutto l'angolo solido si ottiene la generalizzazione relativistica della formula di Larmor:[7]

Distribuzione angolare della radiazione emessa da una carica in moto accelerato. Nell'immagine a destra la velocità della particella si avvicina alla velocità della luce, e l'emissione di radiazione è collimata in un cono appuntito il cui asse è diretto come la velocità.

Radiazione di sincrotrone[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Radiazione di sincrotrone.

Se la carica compie un moto circolare la sua accelerazione è perpendicolare alla velocità . Se si sceglie un sistema di coordinate tale per cui è istantaneamente in direzione z e in direzione x, utilizzando le coordinate polari e per definire la direzione di osservazione, la distribuzione di potenza angolare si riduce alla seguente espressione:[8]

Nel limite relativistico per velocità prossime alla velocità della luce, in cui , la distribuzione angolare può approssimativamente essere scritta come:[9]

dove i fattori al denominatore restringono la distribuzione angolare in un fascio di luce conico e sempre più stretto al crescere della velocità, distribuito in un piccolo angolo intorno a .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Some Aspects in Emil Wiechert
  2. ^ Jackson, Pag. 662
  3. ^ Jackson, Pag. 663
  4. ^ Jackson, Pag. 664
  5. ^ Landau, Lifshits, Pag. 218
  6. ^ Jackson, Pag. 668
  7. ^ Jackson, Pag. 666
  8. ^ Jackson, Pag. 670
  9. ^ Jackson, Pag. 671

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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