Vettore di Poynting

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In fisica, il vettore di Poynting, il cui nome è dovuto a John Henry Poynting, è un vettore che descrive il flusso di energia (energia per unità di superficie per unità di tempo) associato alla propagazione del campo elettromagnetico. Più precisamente, è definito come la quantità di irradianza trasportata dalla radiazione elettromagnetica, e si misura pertanto in W/m2.[1]

Si tratta di un'importante relazione tra il campo elettrico ed il campo magnetico, il cui flusso associato ad una superficie rappresenta l'energia elettromagnetica trasportata dalla radiazione elettromagnetica nell'unità di tempo attraverso la superficie stessa.[2]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il vettore di Poynting è definito come il prodotto vettoriale tra il campo elettrico \mathbf E ed il campo magnetico \mathbf H nella materia [1] :

\mathbf S = \mathbf E \times \mathbf H

Esso è quindi perpendicolare ai vettori dei due campi, e concorde con la direzione di propagazione della radiazione.

Teorema di Poynting[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Poynting e Energia del campo elettromagnetico.

Si consideri una superficie chiusa S che racchiude un certo volume V entro il quale vi è un campo elettromagnetico, il vettore di Poynting si può ricavare direttamente dalla somma delle energie prodotte dal campo elettrico e dal campo magnetico nella forma integrale:

 U = \int_{V} u_E dV + \int_{V} u_B dV = \int_{V} \left(\frac {\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf H \cdot \mathbf B}{2} \right) dV

dove \mathbf D e \mathbf H sono i vettori associati ai due campi nella materia, e u_E, u_B le densità di energia elettrica e magnetica, la cui somma fornisce la densità di energia totale:

u = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\right)

Derivando parzialmente l'espressione integrale di u rispetto al tempo si ottiene:

 \frac{\partial U}{\partial t} = \int_{V} \left( \mathbf E \cdot \frac {\partial \mathbf D}{\partial t } + \mathbf H \cdot \frac {\partial \mathbf B}{\partial t } \right) dV

ed inserendo al posto delle derivate temporali le rispettive grandezze date dalle equazioni di Maxwell, si ha:

 \frac{\partial U}{\partial t} = \int_{V} \left( \mathbf E \cdot (\mathbf \nabla \times \mathbf H ) - \mathbf E \cdot \mathbf J - \mathbf H \cdot (\mathbf \nabla \times \mathbf E ) \right) dV

dove \mathbf J è la densità di corrente. Sapendo che vale la relazione vettoriale:

\mathbf E \cdot (\mathbf \nabla \times \mathbf H) - \mathbf H \cdot (\mathbf \nabla \times \mathbf E) = -\mathbf \nabla \cdot (\mathbf E \times \mathbf H)

ed usando il teorema della divergenza per l'integrale di  -\mathbf \nabla \cdot (\mathbf E \times \mathbf H) , si giunge a:[3]

 \frac{\partial U}{\partial t} = - \oint_{\partial V} (\mathbf E \times \mathbf H) dS - \int_{V} \mathbf E \cdot \mathbf J dV

la cui forma locale è la seguente:

\frac{\partial u}{\partial t} = - \mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{S} -\mathbf J \cdot \mathbf{E}

Il termine \mathbf E \times \mathbf H rappresenta il vettore di Poynting, mentre il secondo integrale al secondo membro rappresenta il contributo dell'energia del campo elettrico per la presenza della carica contenuta nel volume V. Dal punto di vista fisico la precedente espressione esprime il fatto che la variazione nel tempo dell'energia contenuta nel volume V delimitato dalla superficie S è pari al flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie, più l'energia dissipata per effetto Joule nella materia contenuta all'interno.

Analisi in frequenza[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di un campo elettromagnetico con dipendenza periodica sinusoidale dal tempo, il flusso del vettore di Poynting medio per unità di tempo può essere ricavato trasformando i campi secondo Fourier in numeri complessi. Il vettore assume in tal caso la forma:

\begin{align}\mathbf{S} & = \mathbf{E} \times \mathbf{H}\\
 & = \mathrm{Re}\left(\mathbf{\widetilde E}\right) \times \mathrm{Re}\left(\mathbf{\widetilde H} \right)\\
 & = \mathrm{Re}\left(\mathbf{E_c} e^{j\omega t}\right) \times \mathrm{Re}\left(\mathbf{H_c} e^{j\omega t}\right)\\
 & = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E_c} e^{j\omega t} + \mathbf{E_c}^* e^{-j\omega t}\right) \times \frac{1}{2}\left(\mathbf{H_c} e^{j\omega t} + \mathbf{H_c}^* e^{-j\omega t}\right)\\
 & = \frac{1}{4}\left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c}^* + \mathbf{E_c}^* \times \mathbf{H_c} + \mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c} e^{2j\omega t} + \mathbf{E_c}^* \times \mathbf{H_c}^* e^{-2j\omega t}\right)\\
 & = \frac{1}{4}\left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c}^* + \left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c}^*\right)^* + \mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c} e^{2j\omega t} + \left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c} e^{2j\omega t}\right)^*\right)\\
 & = \frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c}^*\right) + \frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c} e^{2j\omega t}\right)
\end{align}

e la media temporale è data da:

\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T \mathbf{S}(t)dt = \frac{1}{T}\int_0^T \frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c}^*\right) + \frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c} e^{2j\omega t}\right) dt

Dal momento che l'ultimo termine alla destra è una sinuoide:

\mathrm{Re}\left(e^{2j\omega t}\right) = \mathrm{cos}2\omega t

la sua media è nulla, e pertanto si ha:

\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\mathbf{E_c} \times \mathbf{H_c}^*\right)
=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\left[\mathbf{E_c}e^{i\omega t}\right] \times \left[\mathbf{H_c}^* e^{-i\omega t}\right]\right)
=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\mathbf{\widetilde E} \times \mathbf{\widetilde H}^*\right).

Intensità di un'onda elettromagnetica[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di un'onda piana, sapendo che i campi elettrico e magnetico sono ortogonali tra loro \mathbf E = \mathbf B \times \mathbf v e ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda, ponendo che non vi siano effetti dissipativi, si ha che:

\mathbf S = \frac{\mathbf E \times \mathbf B}{\mu} = \frac{1}{\mu} (\mathbf B \times \mathbf v) \times \mathbf B = \frac{B^2}{\mu} \mathbf v

dove \mathbf v è la velocità di propagazione dell'onda. Oppure in termini di campo elettrico:

 \mathbf S = \varepsilon E^2 \mathbf v = \frac{E^2}{Z} \hat n

dove \hat n è il versore che identifica la direzione di propagazione dell'onda e Z = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} è l'impedenza caratteristica del materiale entro cui si propaga l'onda.

Il modulo del vettore di Poynting è l'intensità dell'onda, cioè l'energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione nell'unità di tempo:

 S = \frac{E^2}{Z} = E^2 \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} = H^2 \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}

Se l'onda piana è approssimabile con un'onda monocromatica, essa è caratterizzata da un andamento sinusoidale del tipo

\mathbf E = \mathbf E_0 \cos (\mathbf k \cdot \mathbf r - \omega t)

e lo stesso vale per il campo magnetico. Segue che l'intensità dell'onda è anch'essa una funzione sinusoidale negli stessi argomenti, e deve essere mediata su un periodo:

\bar S = \frac{E_{0}^{2}}{2Z} = \frac{E_{eff}^{2}}{Z}

dove E_{eff} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} è il valore medio dell'intensità d'onda calcolato su un periodo.

Nel caso di un'onda sferica il fronte d'onda è una superficie sferica e la velocità è radiale. Per cui l'intensità d'onda dipende da r:

\bar S = \frac{E_{0}^{2}}{2Zr^2} = \frac{E_{eff}^{2}}{Zr^2}

dunque essa diminuisce come l'inverso del quadrato della distanza.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 491
  2. ^ Lionel Lovitch, Sergio Rosati, Fisica generale, vol. 2, Casa Editrice Ambrosiana, 1996.
  3. ^ Jackson, op. cit., Pag. 259

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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