Potenziali ritardati

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In elettrodinamica, i potenziali ritardati descrivono i potenziali generalizzati del campo elettromagnetico in un sistema la cui distribuzione di carica e corrente sorgente del campo sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni del potenziale elettrico e magnetico introdotte nel caso in cui non sia possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea, ad esempio quando si considerano cariche che si muovono a velocità non trascurabili se confrontate con la velocità di propagazione della luce.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma:[1]

dove è la densità di carica, è la densità di corrente, la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume su cui si effettua l'integrazione e:

è il tempo ritardato.

I potenziali ritardati sono la soluzione dell'equazione delle onde per i potenziali:

Una volta determinati i potenziali e dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule:

e questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto:

la cui soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi:[2]

La scrittura esplicita dei campi è fornita dalle equazioni di Jefimenko.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione delle onde.

Si vogliono trovare le soluzioni generali dell'equazione delle onde per i potenziali mostrata in precedenza, considerando l'equazione per una sorgente puntiforme posta in :[3]

Grazie alla definizione della delta di Dirac è dunque possibile descrivere la presenza di una sorgente puntiforme: nel resto dello spazio non vi sono sorgenti, e l'equazione d'onda è non omogenea solo per . Scrivendo il laplaciano in coordinate sferiche l'equazione omogenea diventa:

e se si effettua la sostituzione:

si ha:

la cui soluzione è quella dell'equazione delle onde omogenea:[4]

da cui

dove e sono due funzioni da dover determinare. Imponendo che le onde siano uscenti dalla sorgente si deve escludere il termine

Questa condizione è dettata dal principio di causalità, e dal fatto che non ha senso parlare di onde che dall'infinito arrivano verso la sorgente. Si ha quindi:[5]

da cui:

dove è la derivata di rispetto al suo argomento. Integrando ora l'equazione d'onda su un volume sferico di raggio centrato in e sostituendo le espressioni trovate sopra per e si ha:

e considerando il limite per il secondo integrale si annulla poiché è minore del massimo dell'integranda sul dominio d'integrazione, moltiplicato la misura del dominio d'integrazione. Sfruttando il teorema della divergenza si calcola quindi il valore del primo integrale:

dove è il volume della sfera di raggio ed la superficie della sfera stessa. Effettuando il limite per si nota che il secondo termine in parentesi si annulla. Considerando quindi l'equazione d'onda integrata, si ottiene la relazione:

da cui:[5]

e sfruttando la relazione:

si ottiene infine la soluzione generale dell'equazione d'onda di partenza, valida per sorgenti puntiformi:

Per considerare il caso generale di sorgente non puntiforme, è sufficiente integrare su la soluzione di cui sopra, ottenendo la soluzione valida per qualunque sorgente:

Risulta allora sufficiente sostituire rispettivamente a e a i potenziali vettore e scalare e le rispettive sorgenti per ottenere le soluzioni generali delle equazioni d'onde per i potenziali:[1]

ovvero le espressioni cercate.

L'equazione delle onde ed il gauge di Lorenz[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Gauge di Lorenz.

Sostituendo la definizione del potenziale vettore nella seconda equazione di Maxwell si ottiene:

da cui:

Poiché la quantità tra parentesi ha rotore nullo, può essere espressa come gradiente di un campo scalare, ed in particolare del potenziale scalare :[6]

ovvero:

Usando ora la relazione:

dove con si è indicata una generica grandezza vettoriale, e sostituendo nelle due equazioni di Maxwell:

si ottengono le seguenti relazioni:

dette equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate.[7]

Per semplificare queste equazioni è conveniente ricorrere ad una particolare trasformazione di gauge. Ricordando che il potenziale vettore è definito a meno di un gradiente, è possibile aggiungere il gradiente di una quantità scalare facendo rimanere invariato il campo magnetico:

ed affinché anche il campo elettrico rimanga invariato deve inoltre valere:

da cui, sfruttando la relazione esistente tra , e si ottiene:

che si traduce in:

Sfruttando l'invarianza di gauge è possibile scegliere in modo che soddisfi determinate condizioni. In elettrodinamica è frequente la scelta della condizione di Lorenz, la quale è ottenuta scegliendo opportunamente in modo tale che:

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.[8]
Sostituendo nelle due equazioni per i potenziali ricavate in precedenza si ottengono le equazioni di Maxwell per i potenziali:[9][10]

nelle quali si riconosce la forma delle equazioni d'onda.

Potenziali di Liénard-Wiechert[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziale di Liénard-Wiechert.

La soluzione al tempo ritardato dell'equazione delle onde non omogenea per i potenziali del campo elettromagnetico è la seguente:

dove e sono i termini sorgente, e:

è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in con velocità , le densità di carica e corrente assumono la forma:

Se si integra sul volume , utilizzando la relazione precedente si ottiene:

ed integrando in si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert:[11]

con:

e il tempo proprio. Si tratta di una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico e del potenziale magnetico generati da una sorgente puntiforme di carica in moto.[12] I potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto, e la loro espressione è stata sviluppata in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert[13] in un modo indipendente da quello di Liénard.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, Pag. 506
  2. ^ Jackson, Pag. 246
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 213
  4. ^ Landau, Lifshits, Pag. 150
  5. ^ a b Landau, Lifshits, Pag. 214
  6. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 503
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 504
  8. ^ Jackson, Pag. 241
  9. ^ Jackson, Pag. 240
  10. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 505
  11. ^ Landau, Lifshits, Pag. 218
  12. ^ Jackson, Pag. 663
  13. ^ Some Aspects in Emil Wiechert

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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