Equazioni di Jefimenko

In elettromagnetismo, le equazioni di Jefimenko descrivono il comportamento del campo elettrico e del campo magnetico in funzione di sorgenti arbitrarie dipendenti dal tempo. Le equazioni, dovute a Oleg D. Jefimenko, sono pertanto soluzione delle equazioni di Maxwell per una distribuzione assegnata di cariche e correnti al tempo ritardato, e permettono di generalizzare la legge di Coulomb e la legge di Biot-Savart.

Le equazioni

Il vettore $\mathbf {r}$ è la posizione in cui viene calcolato il campo rispetto alla sorgente, integrata rispetto alla variabile $\mathbf {r'}$.

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico ed il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica $\rho$ o corrente elettrica $\mathbf {J}$ dipendente dal tempo, ed hanno la seguente forma:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

dove $\mathbf {r} '$ è un punto all'interno della distribuzione di carica, $\mathbf {r}$ è un punto nello spazio e:

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia $\mathbf {D}$ e $\mathbf {H}$ hanno la stessa forma.

Derivazione a partire dai potenziali ritardati

Si possono derivare le equazioni di Jefimenko a partire dai potenziali ritardati $\varphi$ ed $\mathbf {A}$, che hanno la forma:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

ed utilizzando la relazione:

$c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$

si possono ottenere le equazioni di Jefimenko rimpiazzando $\varphi$ ed $\mathbf {A}$ con i campi $\mathbf {E}$ e $\mathbf {B}$.

Bibliografia

• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• Richard P. Feynman, La fisica di Feynman, Vol 2, Zanichelli, ISBN 8808142981

Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo magnetico
• Carica elettrica
• Corrente elettrica
• Equazioni di Maxwell
• Quadripotenziale
• Potenziali ritardati