Equazione di Larmor

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In fisica, l'equazione di Larmor o formula di Larmor, derivata da Joseph Larmor nel 1897, descrive la potenza della radiazione emessa da una particella carica non relativistica quando la particella subisce una variazione di velocità.

L'equazione[modifica | modifica wikitesto]

L'accelerazione di una carica produce l'emissione di radiazione elettromagnetica, che si propaga nella forma di onda. Per velocità molto inferiori alla velocità della luce la potenza totale irradiata è data dall'equazione di Larmor, che nel Sistema Internazionale è data da:[1]

mentre nel sistema CGS:

dove è l'accelerazione e la velocità della luce. La generalizzazione relativistica, per velocità prossime a , è fornita dai potenziali di Liénard-Wiechert.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziale di Liénard-Wiechert.

Il campo generato da una particella non relativistica carica in moto, ottenuto a partire dai potenziali di Liénard–Wiechert, ha la forma:[2]

dove è la velocità della carica divisa per c, è l'accelerazione della carica divisa per c, un vettore unitario parallelo a ed il modulo di . I termini al secondo membro sono valutati al tempo ritardato, dato da:

L'espressione del campo è la somma dei due contributi al secondo membro, relativi alla velocità e all'accelerazione della carica essendo rispettivamente dipendenti da e da e . Il campo relativo alla velocità è proporzionale a , e pertanto si annulla rapidamente al crescere della distanza. Il campo relativo all'accelerazione, denotato con , decresce come ed è il principale responsabile della perdita di energia da parte della carica.

La densità del flusso di energia irraggiata è fornita dal vettore di Poynting per il campo relativo all'accelerazione:

La potenza irraggiata per unità di angolo solido è quindi data da:

Detto l'angolo tra i vettori e , la radiazione è polarizzata nel piano generato da tali vettori e si ha:

dove è determinante la dipendenza da .

La potenza totale irraggiata è ottenuta integrando su tutto l'angolo solido :

che è il risultato di Larmor per una carica non relativistica che accelera. Si tratta di una grandezza covariante, ovvero invariante sotto trasformazione di Lorentz.

Generalizzazione relativistica[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Larmor può essere modificata per velocità relativistiche considerando la componente spaziale del quadrimpulso :

Si ottiene così la generalizzazione invariante:[3]

La potenza irradiata dipende pertanto dall'entità della variazione della quantità di moto della carica nel tempo, ed è proporzionale al quadrato della carica ed inversamente proporzionale al quadrato della sua massa. Riscrivendo il prodotto dei quadrivettori energia-momento si ha:

dove si è sfruttato il fatto che:

Al tendere di a zero, e quindi .

Forma non covariante[modifica | modifica wikitesto]

In termini dell'energia e dell'impulso , sostituendo:

nell'espressione covariante, si ha:

e dunque:

Aggiungendo e sottraendo si ha:

e sfruttando l'identità vettoriale:

si ottiene:

che è l'espressione trovata da Liénard nel 1898.[3]

Il termine evidenzia il fatto che per , ovvero per , la radiazione emessa è trascurabile. Se l'accelerazione e la velocità sono ortogonali, inoltre, la potenza è ridotta di un fattore , e tale fattore di riduzione aumenta con la velocità.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 665
  2. ^ Jackson, Pag. 664
  3. ^ a b Jackson, Pag. 666

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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