Nucleo di Fredholm

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In matematica, un nucleo di Fredholm è un tipo di nucleo integrale definito su uno spazio di Banach, ed associato ad uno o più operatori nucleari. Si tratta di uno degli elementi principale della teoria di Fredholm, parte della quale è stata sviluppata da Alexander Grothendieck e pubblicata nel 1955.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Banach e il suo duale, ovvero lo spazio dei funzionali lineari limitati definiti su . Il prodotto tensoriale è uno spazio completo con la norma:

dove l'estremo inferiore è valutato considerando tutte le rappresentazioni finite:

Il completamento con tale norma è anche denotato come:

ed è chiamato prodotto tensoriale topologico proiettivo. Un nucleo di Fredholm è un elemento di tale spazio.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni nucleo di Fredholm possiede una rappresentazione nella forma:

con e tali che e:

Ad ogni nucleo si può associare l'operatore lineare:

la cui rappresentazione canonica è:

Inoltre, si può associare una traccia, data da:

Nuclei p-sommabili[modifica | modifica wikitesto]

Un nucleo di Fredholm è detto p-sommabile se:

ed è detto essere di ordine q se q è l'estremo inferiore di per tutti i p che rendono il nucleo p-sommabile.

Operatori di classe traccia su spazi di Banach[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Classe traccia.

Un operatore è detto operatore nucleare o di classe traccia se esiste un nucleo di Fredholm tale che . Un tale operatore è p-sommabile e di ordine q se lo è . In generale, ci può essere più di un associato ad un operatore di classe traccia, sicché la traccia non è univocamente definita. Tuttavia, se allora la traccia è unica, come stabilito dal teorema di Grothendieck.

Uno spazio di Fréchet in cui ogni funzione limitata a valori in uno spazio di Banach è di classe traccia viene detto spazio nucleare.

Teorema di Grothendieck[modifica | modifica wikitesto]

Se è un operatore di ordine allora si può definire una traccia:

dove sono gli autovalori di . Inoltre, il determinante di Fredholm:

è una funzione intera di z, e vale la formula:

Inoltre, se è parametrizzato da qualche numero complesso , ovvero , e se la parametrizzazione è olomorfa su qualche dominio, allora:

è olomorfa nello stesso dominio.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • A. Grothendieck, La théorie de Fredholm Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1956) pp. 319–384
  • A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires Mem. Amer. Math. Soc. , 5 (1955)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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