Nucleo di Fredholm

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In matematica, un nucleo di Fredholm è un tipo di nucleo integrale definito su uno spazio di Banach, ed associato ad uno o più operatori nucleari. Si tratta di uno degli elementi principale della teoria di Fredholm, parte della quale è stata sviluppata da Alexander Grothendieck e pubblicata nel 1955.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia B uno spazio di Banach e B^* il suo duale, ovvero lo spazio dei funzionali lineari limitati definiti su B. Il prodotto tensoriale B^*\otimes B è uno spazio completo con la norma:

\Vert X \Vert_\pi = \inf \sum_{\{i\}} \Vert e^*_i\Vert \Vert e_i \Vert

dove l'estremo inferiore è valutato considerando tutte le rappresentazioni finite:

X=\sum_{\{i\}} e^*_i e_i \in B^*\otimes B

Il completamento con tale norma è anche denotato come:

B^* \widehat{\,\otimes\,}_\pi B

ed è chiamato prodotto tensoriale topologico proiettivo. Un nucleo di Fredholm è un elemento di tale spazio.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Ogni nucleo di Fredholm X possiede una rappresentazione nella forma:

X=\sum_{\{i\}} \lambda_i e^*_i \otimes e_i

con e_i \in B e e^*_i \in B^* tali che \Vert e_i \Vert = \Vert e^*_i \Vert = 1 e:

\sum_{\{i\}} \vert \lambda_i \vert < \infty

Ad ogni nucleo si può associare l'operatore lineare:

\mathcal {L}_X : B \to B

la cui rappresentazione canonica è:

\mathcal{L}_X f =\sum_{\{i\}} \lambda_i e^*_i(f) \otimes e_i

Inoltre, si può associare una traccia, data da:

\mbox{tr} X = \sum_{\{i\}} \lambda_i e^*_i(e_i)

Nuclei p-sommabili[modifica | modifica sorgente]

Un nucleo di Fredholm è detto p-sommabile se:

\sum_{\{i\}} \vert \lambda_i \vert^p < \infty

ed è detto essere di ordine q se q è l'estremo inferiore di 0<p\le 1 per tutti i p che rendono il nucleo p-sommabile.

Operatori di classe traccia su spazi di Banach[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Classe traccia.

Un operatore \mathcal{L}:B \to B è detto operatore nucleare o di classe traccia se esiste un nucleo di Fredholm X\in B^* \widehat{\,\otimes\,}_\pi B tale che \mathcal{L} = \mathcal{L}_X. Un tale operatore è p-sommabile e di ordine q se lo è X. In generale, ci può essere più di un X associato ad un operatore di classe traccia, sicché la traccia non è univocamente definita. Tuttavia, se q \le 2/3 allora la traccia è unica, come stabilito dal teorema di Grothendieck.

Uno spazio di Fréchet in cui ogni funzione limitata a valori in uno spazio di Banach è di classe traccia viene detto spazio nucleare.

Teorema di Grothendieck[modifica | modifica sorgente]

Se \mathcal{L}:B\to B è un operatore di ordine q \le 2/3 allora si può definire una traccia:

\mbox{Tr} \mathcal {L} = \sum_{\{i\}} \rho_i

dove \rho_i sono gli autovalori di \mathcal{L}. Inoltre, il determinante di Fredholm:

\det \left( 1-z\mathcal{L}\right)=\prod_i \left(1-\rho_i z \right)

è una funzione intera di z, e vale la formula:

\det \left( 1-z\mathcal{L}\right)= \exp \mbox{Tr} \log\left( 1-z\mathcal{L}\right)

Inoltre, se \mathcal{L} è parametrizzato da qualche numero complesso w, ovvero \mathcal{L}=\mathcal{L}_w, e se la parametrizzazione è olomorfa su qualche dominio, allora:

\det \left( 1-z\mathcal{L}_w\right)

è olomorfa nello stesso dominio.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • A. Grothendieck, La théorie de Fredholm Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1956) pp. 319–384
  • A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires Mem. Amer. Math. Soc. , 5 (1955)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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