Teoremi di Fredholm

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In matematica, i teoremi di Fredholm sono un insieme di risultati dovuti a Ivar Fredholm nell'ambito della teoria di Fredholm delle equazioni integrali.

Si tratta di teoremi strettamente correlati che possono essere esposti nell'ambito delle equazioni integrali, dell'algebra lineare o dell'operatore di Fredholm su spazi di Banach. Tra i vari teoremi vi è anche l'alternativa di Fredholm.

Algebra lineare[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice, allora il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori riga è il nucleo della matrice:

In modo simile, il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori colonna è il nucleo della matrice aggiunta:

Equazioni integrali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione integrale di Fredholm.

Sia il nucleo di una trasformata integrale e si considerino le equazioni:

dove denota il complesso coniugato del numero complesso , e similmente per .

Allora per ogni valore fissato di le equazioni hanno o la soluzione banale oppure hanno lo stesso numero di soluzioni linearmente indipendenti , .

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che sia a quadrato sommabile sul rettangolo , dove a e b possono assumere valore illimitato.

Il teorema può essere esteso a spazi in più dimensioni, come ad esempio le superfici di Riemann.

Esistenza delle soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Uno dei teoremi di Fredholm riguarda l'esistenza delle soluzioni dell'equazione di Fredholm:

Le soluzioni esistono se e solo se la funzione è ortogonale all'insieme completo delle soluzioni della corrispondente equazione aggiunta:

dove è il complesso coniugato di , e la precedente relazione è uno degli insiemi di soluzioni per:

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che sia a quadrato sommabile sul rettangolo .

Teorema analitico di Fredholm[modifica | modifica wikitesto]

Sia un sottoinsieme aperto e connesso di , sia una funzione analitica definita su a valori nello spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert e sia compatta per ogni . Il teorema analitico di Fredholm afferma che o non esiste per alcun , oppure esiste per ogni in , dove è un sottoinsieme discreto contenuto in , ovvero tale che non ha punti limite in tale insieme. In tal caso l'operatore è mereomorfo di e analitico in D\S. Inoltre, i residui ai poli sono operatori dal rango finito, e se allora ha una soluzione non nulla nello spazio di Hilbert.[1]

L'alternativa di Fredholm[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Alternativa di Fredholm.

L'alternativa di Fredholm è un importante corollario del teorema analitico di Fredholm che afferma che se è un operatore compatto su uno spazio di Hilbert allora o esiste oppure ha una soluzione.[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 202
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 203

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (SV) E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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