Determinante di Fredholm

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In matematica, il determinante di Fredholm è una funzione a valori complessi che generalizza la nozione di determinante di una matrice. Definito per operatori limitati su uno spazio di Hilbert, deve il nome a Erik Ivar Fredholm.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Hilbert e l'insieme degli operatori limitati invertibili definiti su che hanno la forma , dove è l'identità e un operatore di classe traccia (dunque un operatore compatto). L'insieme è un gruppo in quanto:

e si può definire in modo naturale una metrica data da:

dove . Se ha come prodotto interno , allora la potenza esterna k-esima è a sua volta uno spazio di Hilbert con prodotto interno:

In particolare:

fornisce una base ortonormale di se è una base ortonormale di .

Se è un operatore limitato su , allora definise funzionalmente un operatore limitato su :

Se è di classe traccia, allora lo è anche con:

In questo modo ha senso la definizione di determinante di Fredholm:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Se è di classe traccia:
definisce una funzione intera tale che:
  • La funzione è continua sullo spazio degli operatori di classe traccia, con:
Tale disuguaglianza può essere migliorata scrivendola nella forma:
  • Se e sono di classe traccia:
  • La funzione determinante definisce un omomorfismo tra e il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli.
  • Se e è invertibile:
  • Se è di classe traccia:

Commutatori[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione è differenziabile se è differenziabile come funzione che mappa nello spazio vettoriale degli operatori di classe traccia, ovvero se esiste il limite:

nella norma . Se è una funzione differenziabile che mappa nello spazio degli operatori di classe traccia, allora lo è anche e si ha:

dove:

Israel Gohberg e Mark Krein provarono che se è differenziabile a valori in allora è una funzione differenziabile a valori in con:

Questo risultato fu utilizzato da Joel Pincus, William Helton e Roger Howe per mostrare che se e sono operatori limitati con commutatore di classe traccia allora:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Barry Simon, Trace Ideals and Their Applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 120, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3581-5.
  • John A. Wheeler, On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure, Physical Review, vol. 52, 1937, p. 1107.
  • Folkmar Bornemann, On the numerical evaluation of Fredholm determinants, in Math. Comp., vol. 79, Springer, 2010, pp. 871–915.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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