Operatore di Fredholm

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In matematica, in particolare all'interno della teoria di Fredholm, un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach il cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita, e la sua immagine è chiusa, sebbene quest'ultima richiesta sia ridondante.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita. In modo equivalente, un operatore è di Fredholm se esiste un operatore lineare limitato tale per cui gli operatori:

sono compatti rispettivamente su e .

L'indice di un operatore di Fredholm è definito come:

o, in modo analogo:

Se l'indice è l'operatore è detto essere semi-Fredholm: si tratta di un operatore caratterizzato dal possedere nucleo oppore conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.[2]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme degli operatori di Fredholm da a forma un insieme aperto nello spazio di Banach degli operatori lineari limitati (e dunque continui). Più precisamente, se è di Fredholm allora esiste tale che ogni che soddisfa è di Fredholm e ha lo stesso indice di .

Se è un operatore di Fredholm da a e è di Fredholm da a , allora la composizione è di Fredholm da a e si ha:

Se è un operatore di Fredholm, il suo aggiunto è di Fredholm e , e ciò vale anche quando e sono spazi di Hilbert (in cui la definizione di aggiunto si diversifica).

Se è un operatore di Fredholm e è un operatore compatto, allora è ancora di Fredholm e l'indice non cambia.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Yuri A. Abramovich and Charalambos D. Aliprantis, "An Invitation to Operator Theory", p.156
  2. ^ (EN) semi-Fredholm operator, in PlanetMath.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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