Spettro essenziale

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In matematica, lo spettro essenziale di un operatore limitato è un sottoinsieme dello spettro.

Operatori limitati[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Banach e un operatore limitato definito su . In letteratura vi sono diverse definizioni di spettro essenziale, che non sono equivalenti tra loro (ma coincidono nel caso di un operatore autoaggiunto):

  • Lo spettro essenziale è l'insieme dei numeri tali che non è un operatore semi-Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo o conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
  • Lo spettro essenziale è l'insieme dei numeri tali che non ha immagine chiusa oppure il suo nucleo ha dimensione infinita.
  • Lo spettro essenziale è l'insieme dei numeri tali che non è un operatore di Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo e conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
  • Lo spettro essenziale è l'insieme dei numeri tali che non è un operatore di Fredholm tale che la dimensione del nucleo e del conucleo non siano coincidenti.
  • Lo spettro essenziale è l'unione di e tutte le componenti di che non intersecano l'insieme risolvente .

Lo spettro essenziale è sempre chiuso, indipendentemente dalla definizione usata, e si ha:

Il raggio spettrale dello spettro essenziale è dato da:

Lo spettro essenziale di un operatore è invariante se a si somma un operatore compatto per k = 1,2,3,4, ma non per k = 5. Il caso k = 4, in particolare, fornisce la parte di spettro che è indipendente dalla perturbazione di un operatore compatto:

dove è l'insieme degli operatori compatti in .

Operatori limitati autoaggiunti[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore autoaggiunto.

Sia uno spazio di Hilbert e un operatore limitato autoaggiunto definito su . Lo spettro essenziale di è l'insieme dei numeri complessi tali che:

non è un operatore di Fredholm. Si tratta sempre di un insieme chiuso che è un sottoinsieme dello spettro, in tal caso contenente solo valori reali data la natura dell'operatore considerato (autoaggiunto).

Se è un operatore compatto su , allora lo spettro essenziale di e coincidono.

Il criterio di Weyl afferma che è nello spettro di se esiste una successione in tale che e:

mentre è nello spettro essenziale se la successione non contiene nessuna sottosuccessione convergente (questo si verifica, ad esempio, se è ortonormale e tale successione viene detta successione singolare.

Il complementare dello spettro essenziale di è lo spettro discreto :

e se è un autovalore isolato con molteplicità finita, ovvero la dimensione di:

è finita e non nulla. Inoltre, esiste un tale che se e solo se e allora .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
  • (DE) H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68, 220–269.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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