Modello di Drude

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Il Modello di Drude della conduzione elettrica fu proposto nel 1900 [1] da Paul Drude per spiegare le proprietà di trasporto degli elettroni nei materiali, in particolare nei metalli. Il modello di Drude, che è l'applicazione della teoria cinetica dei gas agli elettroni in un solido, assume che il comportamento microscopico degli elettroni in un solido possa essere trattato classicamente. Il comportamento rassomiglia alla dinamica in un flipper con un mare di elettroni che casualmente urtano e riurtano degli ioni molti più pesanti e apparentemente immobili.

Drude model electrons (shown here in blue) constantly bounce between heavier, stationary crystal ions (shown in red).

Ipotesi[modifica | modifica wikitesto]

Il modello di Drude considera il metallo formato da ioni carchi positivamente da cui si sono staccati delocalizzandosi gli elettroni di valenza[2].

Il modello assume che il materiale contenga un "gas di elettroni" classici, non interagenti, di densità n e quindi il quadrato della velocità quadratica media è dato dal teorema di equipartizione dell'energia:

Indicando con la massa dell'elettrone, con la costante di Boltzmann e con la temperatura. A temperatura ambiente la velocità quadratiche medie degli elettroni sono maggiori di .

Il modello trascura ogni interazione a grande distanza tra gli elettroni e gli ioni e tra elettrone ed elettrone. La sola interazione possibile si ha durante la collisione istantanea. Il tempo medio tra collisioni è detto tempo di rilassamento .

Conducibilità elettrica in corrente continua[modifica | modifica wikitesto]

Immaginando che localmente sia presente un campo elettrico che non varia nel tempo esso eserciterà sugli elettroni una forza di trascinamento:

a cui si oppone una forza di attrito viscoso dovuta alle collisioni con gli ioni:

Notiamo come è la velocità di deriva che è sempre di molti ordini di grandezza inferiore alla velocità quadratica media. Se il tempo di rilassamento è molto piccolo, come si evince a posteriori vedi tabella, il moto dei singoli elettroni è un moto a velocità costante:

Dalla definizione di densità di corrente elettrica:

segue che:

definendo con la resistività elettrica e quindi il modello di Drude giustifica la legge di Ohm.

Il tempo di rilassamento è in tutti i metalli molto piccolo, come si evince da alcuni casi mostrati in tabella[3].

Elemento
Na 2.65 4.77 2.8
Cu 8.47 1.68 2.5
Al 18.1 2.65 0.74
Fe 17 9.6 0.22

La velocità di deriva è di molti ordini di grandezza inferiore alla velocità quadratica media dovuta alla agitazione termica.

Conducibilità elettrica in corrente alternata[modifica | modifica wikitesto]

Il modello microscopico della legge di Ohm si può estendere facilmente in corrente alternata considerando un campo elettrico variabile nel tempo con la legge esponenziale:

Considerando l'equazione della dinamica di un singolo elettrone :

Imponendo che la soluzione sia del tipo:

segue che:

da cui:

Se chiamo, estendendo il concetto di densità di corrente:

da cui segue la generalizzazione della legge di Ohm in corrente alternata:

con:

La presenza di : fa si che vi sia uno sfasamento tra corrente e tensione, e questo con l'algebra dei numeri complessi si esprime mediante una resistività complessa. Solo quando si hanno effetti connessi con la parte complessa della resistenza. Ma abbiamo visto come sia dell'ordine di frazioni di ps per cui solo alle frequenze molto elevate (infrarosso) si hanno effetti connessi con la parte complessa della resistività.

Capacità termica degli elettroni[modifica | modifica wikitesto]

Il modello classico dell'elettrone ha una chiara incongruenza macroscopica: la capacità termica dei metalli. La legge di Dulong-Petit afferma che tutti i solidi hanno un calore specifico molare pari a . Ci si aspetterebbe, quindi che essendo presenti in una mole di metallo anche particelle libere, gli elettroni di conduzione debbano contribuire significativamente alla energia interna. Si è indicata con la costante di Avogadro e con la valenza del metallo, cioè il numero di elettroni liberi messi a disposizione da ogni singolo atomo. L'energia interna dei metalli dovrebbe avere un termine in più elettronico:

e quindi il calore specifico per mole dovuta al solo gas di elettroni di conduzione, la derivata di tale espressione rispetto alla temperatura, dovrebbe essere pari a:

In definitiva il calore specifico molare dei metalli dovrebbe essere:

La tabella seguente illustra come tale comportamento sia completamente diverso dal valore sperimentale. Infatti nella seconda colonna sono dati i calori specifici sperimentali di alcuni elementi e nelle ultime due colonne viene riportato sia il valore appena calcolato , che quanto trovato sperimentalmente a temperatura ambiente per alcuni metalli:

Elemento
Na 1 37 28.2
Cu 1 37 24.4
Al 3 62 24.2
Fe 2 49.3 25.1

Il modello di Drude non spiega in maniera assoluta il comportamento degli elettroni, mentre il modello di Dulong-Petit sembra rendere conto perfettamente del comportamento di tutti i solidi indipendentemente se siano isolanti o conduttori.

Conducibilità termica[modifica | modifica wikitesto]

Per piccole differenze di temperature vale nei solidi la Legge di Fourier dice che la corrente termica (che ha dimensioni di un calore diviso un tempo) è proporzionale al gradiente di temperatura:

La costante di proporzionalità è chiamata conducibilità termica. Il modello di Drude ha avuto molto successo, in quanto spiega quantitativamente una legge empirica ben nota detta Wiedemann-Franz, che esprime il fatto facilmente verificabile che i buoni conduttori di calore sono anche buoni conduttori elettrici. Tale legge afferma che il prodotto tra la resistività elettrica , la conducibilità termica divisa la temperatura assoluta, è una costante universale per tutti metalli:

La L, è detta numero di Lorenz.

Consideriamo un caso unidimensionale in cui gli elettroni si muovono solo lungo l'asse delle . In maniera tale che fissata l'attenzione in un punto dello spazio metà degli elettroni verranno dal lato ad alta temperatura e metà dal lato a bassa temperatura. Quindi se definiamo la energia termica per elettrone in un metallo dovuta alla ultima connessione. Quindi arrivano dal lato a temperatura più alta dal punto e dal lato a temperatura più bassa La corrente termica (nel caso unidimensionale uno scalare) che

Abbiamo messo in quanto la metà degli elettroni per unità di volume viene da un lato e la metà dall'altro. Se la variazione di temperatura locale è piccola rispetto al cammino libero medio possiamo approssimare con:

Quindi andando al modello tridimensionale bisogna rimpiazzare la velocità quadratica media con la velocità mediata su tutte le tre direzioni spaziali: poichè non vi è nessuna direzione previlegiata nello spazio , si ha che a va sostituito , per cui:

Quindi confrontando l'espressione della legge di Fourier:

Sostituendo a -> (legge di Ohm) e ponendo (usando l'ipotesi rivelatasi sbagliata per il calore specifico elettronico) di conseguenza si ha che:

da cui:

che è circa la metà del valore sperimentale.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Paul Drude, Zur Elektronentheorie der Metalle, in Annalen der Physik, vol. 306, nº 3, 1900, p. 566, DOI:10.1002/andp.19003060312.
  2. ^ N.W. Ashcroft and N.D. Mermin "Solid State Physics", 1976, pp 1-34, ISBN 978-0-03-083993-1
  3. ^ N.W. Ashcroft and N.D. Mermin "Solid State Physics", 1976, p. 10, ISBN 978-0-03-083993-1

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) R. Victor Jones, Drude Model, in Electronic Devices and Circuits, Harvard University, John A. Paulson School of Engineering and Applied Sciences, 14 ottobre 2001. URL consultato il 4 gennaio 2017.
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