Gamma di Dirac

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Le gamma, o matrici, di Dirac sono matrici 4×4 utilizzate nell'equazione di Dirac, formulata per conciliare la meccanica quantistica con la relatività ristretta.

Le scelte delle matrici da utilizzare sono varie, a patto che esse rispettino alcune regole, di cui la più importante è che devono seguire la regola di anticommutazione:

\left \{ \gamma^\mu; \gamma^\nu \right \} = 2g^{\mu \nu} I

quindi deve accadere che:

\gamma^0 = \left ( \gamma^0 \right )^{+}, \gamma^i = - \left ( \gamma^i \right )^{+}
\gamma^0 \gamma^0 = I, \gamma^i \gamma^i = -I \

dove I è la matrice identità, + è il trasposto coniugato ed i un indice che va da 1 a 3. Da ciò, in quattro dimensioni:

\gamma^\rho \gamma_\rho = 4 I \  .

Si ha in pratica che le matrici di Dirac soddisfano l'Algebra di Clifford.

La rappresentazione di Dirac[modifica | modifica wikitesto]

Una delle rappresentazioni più diffuse per le matrici di Dirac è la seguente, detta appunto rappresentazione di Dirac, costruita a partire dalla matrice identità e dalle matrici di Pauli  \left ( \sigma^i \right )  :

\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ - \sigma^i & 0 \end{pmatrix}
\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}

In questa rappresentazione le quattro matrici di Dirac controvarianti sono:

 \gamma^0 = 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
\gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Da queste quattro matrici è possibile costruire 16 prodotti differenti, linearmente indipendenti uno dall'altro, e che potranno essere utilizzati per costruire le osservabili fisiche dell'equazione di Dirac:

\Gamma^S = I; \Gamma^V = \gamma^\mu; \Gamma^T_{\mu \nu} = \sigma_{\mu \nu}; \Gamma^P = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \gamma^5; \Gamma^A = \gamma^5 \Gamma^V

dove

\sigma_{\mu \nu} = \frac {i}{2} \left [ \gamma_\mu , \gamma_\nu \right ]

Queste Γ, oltre ad essere una base per lo spazio delle matrici 4×4, rispettano alcune regole:

  1. \left ( \Gamma^n \right )^2 = \pm 1
  2. \Gamma^n \ne \Gamma^S, \exists \Gamma^m : \Gamma^n \Gamma^m = - \Gamma^m \Gamma^n
  3. \Gamma^n \ne \Gamma^S, \operatorname {tr} \Gamma^n = 0
  4. \Gamma^a, \Gamma^b, \exists \Gamma^n \ne \Gamma^S : \Gamma^a \Gamma^b = \Gamma^n
  5. \mbox{se } \sum_{i=1}^{16} a_i \Gamma^i = 0, \mbox{ allora } a_i = 0 \forall i

Infine, combinando le γ con gli spinori, è possibile definire una quadricorrente:

j^\mu (x) = \bar {\psi} (x) \gamma^\mu \psi (x)

dove

\bar {\psi} (x) = \psi^{+} (x) \gamma^0

Bisogna notare che gli indici che distinguono queste matrici non sono dei veri e propri indici tensoriali, perché \gamma^\mu non è un quadrivettore che trasforma sotto una generica trasformazione di Lorentz \Lambda^\mu _\nu secondo:

\gamma^\mu \rightarrow \left( \gamma^\mu \right)^\prime = {\Lambda ^\mu} _\nu \gamma^\nu

bensì rimane invariato, per definizione:

\left( \gamma^\mu \right)^\prime = \gamma^\mu

Spesso con la "covarianza" delle matrici gamma si intende la seguente relazione:

S^{-1}\gamma^\mu S= {\Lambda^\mu}_\nu\gamma^\nu

dove S=S(\Lambda) è la rappresentazione della trasformazione sugli spinori che intervengono nell'equazione di Dirac, ma questa è una proprietà soddisfatta in virtù della forma esplicita delle S. Una conseguenza di questo fatto è che la grandezza \gamma^{\mu} p_{\mu} non è invariante, ma si trasforma come:

\left( \gamma^\mu p_\mu \right)^\prime =\gamma ^\mu \left( \Lambda ^{-1} \right)^\nu _\mu p_\nu=S \left( \gamma^ \mu p_ \mu  \right)S^{-1}

e con lei lo stesso operatore di Dirac (i\partial \!\!\!/\ -m) e il propagatore del campo fermionico. Si noti che l'invarianza della densità di lagrangiana e delle sezioni d'urto è conservata perché in queste grandezze la parte che trasforma con le S è racchiusa tra una \bar \psi e una \psi , in modo da mantenere il tutto invariante. Si noti anche che:

p \! \! \! \, / \equiv \gamma^\mu p_\mu = \gamma_\mu p^\mu
\left( \Lambda^{-1} \right) ^\nu_\mu \gamma^\mu p_\nu = S\left( \gamma^\mu p_\mu \right) S^{-1}= \left( p \! \! \! \, / \right) ^ \prime =\left( \gamma^\mu p_\mu \right) ^ {\prime} \neq \left( \gamma_\mu p^\mu \right) ^{\prime} = \Lambda ^\mu_\nu \gamma_\mu p^\nu

Equazione di Dirac[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Dirac.

L'equazione di Dirac, che descrive in modo relativisticamente invariante il moto dei fermioni, nasce come tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'equazione di Klein-Gordon. Tale equazione infatti aveva anche soluzioni ad energia negativa, ma soprattutto presentava una difficoltà nell'interpretazione della funzione d'onda, che nasceva dal fatto che la densità di probabilità poteva anche assumere valori negativi o nulli, ovvero non era definita positiva.

Le matrici di Pauli[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Matrici di Pauli.

Le matrici di Pauli sono un insieme di matrici 2×2 complesse hermitiane unitarie. Usualmente indicate dalla lettera greca σ (sigma), esse possono anche essere indicate con τ (tau) quando utilizzate in connessione con la simmetria di isospin. Devono il loro nome al fisico Pauli e sono così definite:

\sigma_1 \equiv \sigma_x \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
\sigma_2 \equiv \sigma_y \equiv \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0
\end{pmatrix}
\sigma_3 \equiv \sigma_z \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Feynman, R.P., QED: La strana teoria della luce e della materia, Adelphi, ISBN 88-459-0719-8
  • Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg, Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics (John Wiley & Sons 1997) ISBN 0-471-18433-0
  • Jauch, J. M., F. Rohrlich, F., The Theory of Photons and Electrons (Springer-Verlag, 1980)
  • Feynman, R. P. Quantum Electrodynamics (Perseus Publishing, 1998) [ISBN 0-201-36075-6]

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