Gamma di Dirac

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Le matrici gamma di Dirac sono un insieme di matrici che formano una rappresentazione dell'algebra di Clifford. Sono utilizzate nell'equazione di Dirac e sono state formulate per conciliare la meccanica quantistica con la relatività ristretta.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici sono determinate dalla regola di anticommutazione che definisce l'algebra di Clifford:

dove è la metrica dello spaziotempo. Questa condizione non fissa le matrici gamma in maniera univoca, infatti hanno varie rappresentazioni.

Usando la metrica di Minkowski con segnatura deve accadere che:

dove è la matrice identità, è il trasposto coniugato e un indice che va da 1 a 3. Da ciò, in quattro dimensioni:

La rappresentazione di Dirac[modifica | modifica wikitesto]

Una delle rappresentazioni più diffuse per le matrici di Dirac è la seguente, detta appunto rappresentazione di Dirac, costruita a partire dalla matrice identità e dalle tre matrici di Pauli :

In questa rappresentazione le quattro matrici di Dirac controvarianti sono:

Da queste quattro matrici è possibile costruire sedici prodotti differenti, linearmente indipendenti uno dall'altro, e che potranno essere utilizzati per costruire le osservabili fisiche dell'equazione di Dirac:

dove

Queste , oltre a essere una base per lo spazio delle matrici , rispettano alcune regole:

  1. .

Infine, combinando le con gli spinori, è possibile definire una quadricorrente:

dove

.

Bisogna notare che gli indici che distinguono queste matrici non sono dei veri e propri indici tensoriali, perché non è un quadrivettore che trasforma sotto una generica trasformazione di Lorentz secondo:

bensì rimane invariato, per definizione:

.

Spesso con la "covarianza" delle matrici gamma si intende la seguente relazione:

,

dove è la rappresentazione della trasformazione sugli spinori che intervengono nell'equazione di Dirac, ma questa è una proprietà soddisfatta in virtù della forma esplicita delle . Una conseguenza di questo fatto è che la grandezza non è invariante, ma si trasforma come:

e con lei lo stesso operatore di Dirac e il propagatore del campo fermionico. Si noti che l'invarianza della densità di lagrangiana e delle sezioni d'urto è conservata perché in queste grandezze la parte che trasforma con le è racchiusa tra una e una , in modo da mantenere il tutto invariante. Si noti anche che:

.

La quinta matrice gamma[modifica | modifica wikitesto]

È una matrice definita (nel formalismo quadri-dimensionale di Dirac) come segue:

Anche se la matrice non fa parte delle quattro matrici gamma, si denota in questo modo perché retaggio di una vecchia notazione: essendo la quarta matrice oltre le tre spaziali, l'apice 5 denota che sarebbe una quinta matrice con le stesse proprietà delle altre quattro.

Vale anche la relazione che segue (facilmente verificabile):

Viene introdotta in meccanica quantistica relativistica perché utile per lo sviluppo di diverse argomentazioni; una su tutte è la proiezione del campo di Dirac nelle componenti "left-handed" (levogiro) e "right-handed" (destrogiro) (vedi anche chiralità):

.

Seguono alcune delle proprietà di cui gode:

  • È hermitiana:
  • Ha autovalori ±1:
  • Anticommuta con le altre quattro :

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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