Equazione del razzo di Ciolkovskij

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

L'equazione del razzo o di Ciolkovskij, cosiddetta dallo scienziato che per primo la derivò nel 1903, descrive il moto di corpi di massa variabile ed è alla base della propulsione spaziale; essa afferma che per la legge di conservazione della quantità di moto, un corpo può accelerare semplicemente espellendo parte della sua massa in senso opposto a quello in cui si vuole l'aumento di velocità.

L'espressione classica di questa equazione è:

dove:

  • è l'incremento di velocità
  • è la velocità equivalente di uscita dal propulsore, relativa al veicolo. La velocità equivalente differisce da quella relativa effettiva per la presenza del termine statico delle pressioni: infatti , dove: è la velocità di efflusso dei gas relativa al veicolo. Nel caso di quello adattato (verosimile se il propulsore è operante nello spazio) si ha
  • è la massa totale iniziale
  • è la massa totale finale

Questa equazione e le sue espressioni equivalenti, sono particolarmente importanti nella determinazione della massa di propellente necessaria ad una nave spaziale per eseguire una manovra di uno specifico .

Essendo la velocità di efflusso equivalente relativa al veicolo uguale all'Impulso specifico ponderale per l'accelerazione gravitazionale a quota zero, si ha:

A volte il quoziente delle masse è conosciuto come rapporto di massa o mass ratio

per cui

Derivazione dalla seconda legge della dinamica[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione può essere facilmente ricavata come fece lo stesso Tsiolkovskij per la prima volta. Per la seconda legge della dinamica la forza agente su un veicolo (ovvero la spinta) è pari alla sua massa per l'accelerazione (o variazione di velocità):

ma è anche uguale (in assenza di forze esterne agenti sul veicolo quali resistenza aerodinamica o gravità) alla velocità di variazione della quantità di moto, ovvero la velocità dei gas di uscita dal propulsore (−ve) per il cambiamento di massa dovuto al consumo di combustibile più la forza risultante dalla differenza di pressione tra l'ugello e l'ambiente esterno:

Introducendo la velocità di efflusso equivalente (o efficace):

ed uguagliando le due espressioni:

da cui

Integrando questa equazione tra le condizioni iniziali (prima dello "sparo") e quelle finali, si ottiene:

cioè l'equazione cercata.

Si può notare come per ottenere un valore grande del Δv si possa agire teoricamente in direzioni diverse:

  • grandi rapporti tra massa iniziale e finale (cioè grande consumo di combustibile per la manovra)
  • valore elevato della velocità di uscita (ovvero grande impulso specifico).
  • una miscela dei due punti precedenti

Il primo caso è quello utilizzato in grandi razzi come ad esempio il Saturn V mentre la seconda soluzione è tipica della propulsione elettrica con bassissime masse espulse ma enormi impulsi specifici.

Estensioni relativistiche[modifica | modifica wikitesto]

Dalla teoria classica del razzo è stata sviluppata una estensione soggiacente alla relatività ristretta nota come teoria del razzo relativistico, originariamente formulata da Ackeret.