Legge di conservazione della quantità di moto

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In fisica, la legge di conservazione della quantità di moto è una legge di conservazione che stabilisce che la quantità di moto totale di un sistema isolato è costante nel tempo. La condizione di isolamento si esprime nel fatto che sia nulla la risultante delle forze esterne. Il principio deriva dall'ipotesi di omogeneità dello spazio.

Il principio è citato nei casi in cui si abbiano sistemi in cui agiscono unicamente le forze interne, come avviene ad esempio in molti fenomeni di urto o esplosione. Più in generale, permette di considerare la quantità di moto di un sistema come una costante del moto.

Sistema discreto[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere un sistema costituito da un numero N di punti materiali di masse e velocità . La quantità di moto del sistema è data da:

Se si deriva P rispetto al tempo, tenendo conto che la massa dei punti non varia nel tempo, si trova

infatti:

  •  : la risultante delle forze esterne è nulla (vera per ipotesi).
  •  : la somma delle forze interne è anch'essa nulla poiché, per il terzo principio della dinamica, un corpo k che eserciti una forza sul corpo j riceve una uguale di modulo e direzione ma di verso opposto.

Dalla nullità della derivata è possibile concludere che P = cost, ovvero la tesi.

Idraulica[modifica | modifica wikitesto]

In idraulica la legge di conservazione della quantità di moto è conosciuta anche come principio della conservazione della quantità di moto o come Equazione globale dell'equilibrio dinamico. Viene descritta dalla formula:

Dove:

  • rappresenta la somma di tutte le forze di campo, cioè quella di gravità
  • Π rappresenta le forze esterne superficiali
  • m2-m1 rappresenta la differenza della quantità di moto
  • I è la risultante delle inerzie locali, tipica di un moto vario, che se trattiamo di un fluido newtoniano, come l'acqua, è uguale a zero

Queste componenti sono tutte forze, pertanto la loro unità di misura è il Newton [N]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Scriviamo innanzi tutto come derivata totale rispetto allo spazio ed al tempo, di un flusso in un volume mobile di controllo:

Dove:

  • V* è il volume mobile di controllo
  • ρ è la densità, che per l'acqua vale 1000 kg/m³
  • v è la velocità
  • f rappresenta il vettore delle forze di campo gravitazionali
  • n tutte le forze normali alla superficie del volume perché si considera un fluido reale
  • V è il volume non mobile, perché la nostra osservazione è riferita ad un istante

Possiamo descrivere separatamente gli integrali:

  • Risultante delle forze di campo, che per un fluido equivalgono al peso al volume dell'acqua per il peso specifico:
  • è la risultante delle forze esterne superficiali, può essere una pressione su un'area
  • è la differenza tra la quantità di moto entrante e quella uscente.
  • è la risultante delle inerzie locali che è nulla se non dipende dal tempo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La legge di conservazione della quantità di moto può essere applicata ad un oggetto semplice che galleggia, come un iceberg. Se consideriamo un corpo che galleggia nell'acqua e vogliamo calcolare il suo affondamento possiamo ricorrere al principio di conservazione della quantità di moto. Per l'uso pratico possiamo scomporre le forze lungo i tre assi principali, x y e z :

Lungo gli assi x e y, cioè sul piano orizzontale, le forze saranno uguali e si annulleranno a vicenda, visto che non si considera l'oggetto in movimento, il flusso sarà nullo, pertanto non dovremo considerare nulla.

Lungo l'asse z saranno da equipararsi le forze gravitazionali dell'oggetto con quelle relative alla spinta esercitata dall'acqua. Possiamo scrivere:

Considerando che:

Pertanto possiamo confrontare le due forze:

Infine possiamo calcolare l'affondamento z' del nostro oggetto come:

Cioè abbiamo dimostrato come l'affondamento di un qualsiasi cosa nell'acqua sia relativo al rapporto di densità relativa dei due, moltiplicata per la lunghezza dell'oggetto perpendicolare alla superficie del pelo libero dell'acqua. Nel caso di un iceberg, una volta che conosciamo la sua geometria, possiamo considerarlo come somma di cilindri di varia altezza l, e quindi calcolare il suo affondamento.

Altri esempi[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono molti esempi pratici nell'uso di questa legge, come il calcolo della spinta su una tubazione curva entro cui passa un liquido, oppure per il calcolo delle perdite energetiche dovute ad un tubo di Venturi, o per il calcolo della forza che agisce su una turbina.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • D. Citrini, G. Noseda, Idraulica, Milano, ambrosiana, 1987.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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