Moto dei corpi di massa variabile

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La dinamica dei corpi di massa variabile è un caso particolare di dinamica dei sistemi. Nel caso in questione, si tratta di studiare il moto di un corpo la cui massa varia a causa di una perdita o acquisizione di nuova massa. L'esempio più importante sono i mezzi a reazione (aerei, razzi, missili, astronavi).

L'equazione di Mescerskij[modifica | modifica wikitesto]

Per ricavare l'equazione del moto di un punto materiale a massa variabile, consideriamo il moto di un missile. Il principio di funzionamento di un motore a reazione è semplice: il missile espelle una sostanza, quasi sempre gas, a cui viene impressa grande velocità. Il missile esercita grande forza sul gas, che a sua volta esercita sul missile una forza uguale in modulo ma opposta in verso (Terzo principio di Newton). Se le forze esterne sono trascurabili, missile e gas di scarico costituiscono un sistema isolato la cui quantità di moto è costante nel tempo. Tuttavia è utile considerare il caso generale in cui agiscono forze esterne quali la gravità e l'attrito viscoso. Siano m(t) e v(t) la massa e la velocità del missile all'istante t; la quantità di moto è uguale a mv. Trascorso l'intervallo di tempo dt, massa e velocità avranno incrementi pari a dm (negativo) e dv. Quindi la quantità di moto del missile diventa

(m + dm)(\mathbf{v} + d\mathbf{v}).

Va inoltre considerata la quantità di moto del gas di scarico prodotto nel tempo dt. Essa è uguale a

dm_{gas}\mathbf{v}_{gas}

dove compaiono la massa del gas prodotto in dt e la sua velocità. Sommando le due espressioni, troviamo la quantità di moto totale del sistema; sottraendo poi la quantità di moto all'istante t, ovvero mv, otteniamo l'incremento di quantità di moto nel tempo dt. Per il teorema dell'impulso questo incremento è uguale a Fdt, dove F è la somma geometrica delle forze applicate al missile. In definitiva,

\mathbf{F}dt = (m + dm)(\mathbf{v} + d\mathbf{v}) + dm_{gas} \; \mathbf{v}_{gas} - m\mathbf{v} =
m\mathbf{v} + m d\mathbf{v} + \mathbf{v}dm + dm_{gas} \; \mathbf{v}_{gas} - m\mathbf{v}

trascurando il prodotto dm \cdot d\mathbf{v} perché infinitesimo di ordine superiore. Allora si ha

\mathbf{F}dt = md\mathbf{v} + \mathbf{v}dm + dm_{gas} \mathbf{v}_{gas}

con dm + dm_{gas} = 0 (la massa totale deve conservarsi); inoltre possiamo introdurre la velocità relativa del gas rispetto al missile, \mathbf{v}_{rel} = \mathbf{v}_{gas} - \mathbf{v} (velocità del getto di gas). Tenendo contro di queste osservazioni si ottiene

\mathbf{F}dt = md\mathbf{v} + dm(\mathbf{v} - \mathbf{v}_{gas}) = md\mathbf{v} - \mathbf{v}_{rel}dm \Rightarrow \mathbf{F}dt  + \mathbf{v}_{rel}dm = md\mathbf{v}.

Facciamo tendere a zero dt, dm e dv per calcolare le derivate \frac{dm}{dt} e \frac{d\mathbf{v}}{dt}.

Dividendo l'espressione precedente per dt, si trova l'equazione di Mescerskij o equazione del moto di un punto di massa variabile:

\mathbf{F} + \mathbf{v}_{rel} \frac{dm}{dt} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt}.

Il secondo addendo del primo termine si può interpretare come la forza di reazione del missile sul gas di scarico.

Equazione di Tsiolkovsky in meccanica classica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione del razzo di Tsiolkovsky.

Se le forze esterne sono trascurabili, a partire dall'equazione

\vec{v}_{rel}dm = md\mathbf{v}

si perviene all'equazione di Tsiolkovsky per il moto non relativistico: se la massa iniziale del missile è m_{0} e la sua velocità iniziale è nulla, vale la relazione

\frac{m_{0}}{m} = e^{v/v_{rel}}.

Il rapporto \frac{m_{0}}{m} si può interpretare approssimativamente come il rapporto tra la riserva di carburante necessaria a compiere un tragitto e la massa del mezzo, supponendo che il gas sia terminato alla fine del viaggio e che la massa del carburante sia molto maggiore rispetto a quella del mezzo.

Equazione di Tsiolkovsky in meccanica relativistica[modifica | modifica wikitesto]

La formula precedente è valida nel caso di velocità piccole rispetto a quella della luce, ma è possibile generalizzarla nel caso del moto relativistico (la massa aumenta all'aumentare della velocità): risulta

\frac{m_{0}}{m} = \left( \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \right)^{\frac{c}{2v_{rel}}}

dove \beta = \frac{v}{c}.

Voli interplanetari[modifica | modifica wikitesto]

I missili con propulsione a base di carburanti chimici presentano dei limiti; proviamo a calcolare che massa dovrebbe avere un'astronave di questo tipo per poter effettuare voli interplanetari. La velocità minima che essa deve avere per uscire dalla zona di azione del campo di gravità terrestre – la seconda velocità cosmica – è circa 11.2 km/s. Ad esempio è la velocità minima per raggiungere la Luna. La velocità necessaria ad uscire dal sistema solare è detta terza velocità cosmica, ed il suo valore minimo corrisponde alla direzione di lancio tangente all'orbita terrestre: questa è uguale a circa 16.7 km/s. Tale è la velocità è necessaria per i voli interplanetari. Nei moderni motori a reazione si possono raggiungere velocità del getto di gas di alcuni km/s; sia ad esempio v_{rel} = 4 km/s (caso non relativistico). Per raggiungere la seconda velocità cosmica il rapporto m_{0}/m deve essere pari a

e^{11.2/4} \approx 17,

e per la terza

e^{16.7/4} \approx 64.

Tuttavia è ovvio che l'astronave deve avere il carburante necessario per l'andata e il ritorno; se il pianeta da raggiungere ha dimensioni e massa simili a quelle della Terra, la riserva di carburante deve essere non circa 60, bensì 60 x 60 = 3600 volte maggiore della massa della nave. Un volo del genere è possibile, anche se difficoltoso.

Voli interstellari[modifica | modifica wikitesto]

Per voli interstellari i carburanti chimici sono inutilizzabili. Anzitutto si dimostra in fisica molecolare che la velocità di un getto di gas è proporzionale a \sqrt{\frac{T}{p}} dove T è la temperatura e p è il peso molecolare.

Supponiamo quindi di utilizzare idrogeno atomico, la sostanza più leggera (p=1); per arrivare a una velocità del getto di 10 km/s, la sua temperatura dovrebbe arrivare a 5000 °C. Una tale velocità non è quindi raggiungibile con il solo uso di carburanti chimici. Ma anche se fosse possibile, bisogna considerare che la stella più vicina dista 4 anni-luce. Se non vogliamo impiegare secoli a raggiungerla, è chiaro che dovremo viaggiare a una velocità non troppo inferiore a quella della luce: la formula da usare in questo caso è l'equazione di Tsiolkovsky relativistica. Poniamo ad esempio \beta = 0.1 e v_{rel} = 10 km/s. Allora il rapporto m_{0}/m deve essere (si ricorda che c è circa uguale a 300 000 km/s)

\left(\frac{1.1}{0.9}\right)^{300000/20} = (1.\bar{2})^{15000} \approx 1.79 \cdot 10^{1307}

che è un valore incommensurabile: se la nave avesse una massa propria di 20 tonnellate, la massa iniziale totale dovrebbe essere 3.58 x 10^{1308} tonnellate, cioè circa 10^{1270} volte la massa della nostra Galassia.

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