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In fisica delle particelle , il decadimento particellare è il decadimento di una particella subatomica . Si tratta di un processo spontaneo mediante il quale una particella stabile (ovvero con instabilità residua più prossima a zero) o instabile si trasforma in altre particelle subatomiche. Se i prodotti di decadimento sono instabili, decadranno a loro volta.
Dai dati del Particle Data Group , la vita media di alcune importanti particelle risulta essere:
Tipologia
Nome
Simbolo
Massa (MeV /c 2 )
Vita media
Leptone
Elettrone / Positrone
e
−
/
e
+
{\displaystyle e^{-}\,/\,e^{+}}
0,511
>
4
,
6
×
10
26
a
n
n
i
{\displaystyle >4,6\times 10^{26}\ \mathrm {anni} }
Muone / Antimuone
μ
−
/
μ
+
{\displaystyle \mu ^{-}\,/\,\mu ^{+}}
105,6
2
,
2
×
10
−
6
s
e
c
o
n
d
i
{\displaystyle 2,2\times 10^{-6}\ \mathrm {secondi} }
Tauone / Antitauone
τ
−
/
τ
+
{\displaystyle \tau ^{-}\,/\,\tau ^{+}}
1777
291
×
10
−
15
s
e
c
o
n
d
i
{\displaystyle 291\times 10^{-15}\ \mathrm {secondi} }
Mesone
Pione neutro
π
0
{\displaystyle \pi ^{0}}
135
8
,
4
×
10
−
17
s
e
c
o
n
d
i
{\displaystyle 8,4\times 10^{-17}\ \mathrm {secondi} }
Pione carico
π
+
/
π
−
{\displaystyle \pi ^{+}\,/\,\pi ^{-}}
139,6
2
,
6
×
10
−
8
s
e
c
o
n
d
i
{\displaystyle 2,6\times 10^{-8}\ \mathrm {secondi} }
Barione
Protone / Antiprotone
p
+
/
p
−
{\displaystyle p^{+}\,/\,p^{-}}
938,2
>
10
25
a
n
n
i
{\displaystyle >10^{25}\ \mathrm {anni} }
Neutrone / Antineutrone
n
/
n
¯
{\displaystyle n\,/\,{\bar {n}}}
939,6
885
,
7
s
e
c
o
n
d
i
{\displaystyle 885,7\ \mathrm {secondi} }
Bosone
Bosone W
W
+
/
W
−
{\displaystyle W^{+}\,/\,W^{-}}
80 400
10
−
25
s
e
c
o
n
d
i
{\displaystyle 10^{-25}\ \mathrm {secondi} }
Bosone Z
Z
0
{\displaystyle Z^{0}}
91 000
10
−
25
s
e
c
o
n
d
i
{\displaystyle 10^{-25}\ \mathrm {secondi} }
La vita media di una particella è indicata con
τ
{\displaystyle \tau }
, la probabilità che essa sopravviva per un tempo maggiore di t prima di decadere è:
P
(
t
)
=
e
−
t
/
(
γ
τ
)
{\displaystyle P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}}
dove
γ
=
1
1
−
v
2
/
c
2
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}
è il fattore di Lorentz della particella.
Per una particella di massa M , la larghezza di decadimento, cioè la probabilità di decadimento per unità di tempo, è data da:
Γ
=
ℏ
τ
{\displaystyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau }}}
e
d
Γ
n
=
(
2
π
)
4
2
M
|
M
|
2
d
Φ
n
(
P
;
p
1
,
p
2
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}
dove
n è il numero di particelle create nel decadimento.
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
è l'elemento della matrice invariante che connette lo stato iniziale con lo stato finale.
d
Φ
n
{\displaystyle d\Phi _{n}}
è l'elemento della spazio delle fasi
p
i
{\displaystyle p_{i}}
è il quadri-momento della particella i .
Lo spazio delle fasi è determinato da
d
Φ
n
(
P
;
p
1
,
p
2
,
…
,
p
n
)
=
δ
4
(
P
−
∑
i
=
1
n
p
i
)
(
∏
i
=
1
n
d
3
p
→
i
(
2
π
)
3
2
E
i
)
{\displaystyle d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)}
dove
δ
4
{\displaystyle \delta ^{4}}
è la delta di Dirac in quattro dimensioni.
Il quadrimpulso di una particella è anche detto massa invariante (costante per ogni velocità v < c e numericamente coincidente con la massa a riposo m 0 ).
Il quadrato del quadrimpulso è definito come la differenza tra il quadrato dell'energia e il quadrato del tri-impulso:
p
2
=
E
2
−
(
p
→
)
2
=
m
2
(
1
)
{\displaystyle p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)}
Nel caso di due particelle si ha:
p
2
=
(
p
1
+
p
2
)
2
=
p
1
2
+
p
2
2
+
2
p
1
p
2
=
m
1
2
+
m
2
2
+
2
(
E
1
E
2
−
p
→
1
⋅
p
→
2
)
{\displaystyle p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})}
Il quadrimpulso è conservato in tutti i decadimenti ed interazioni tra particelle
p
i
n
i
z
i
a
l
e
=
p
f
i
n
a
l
e
{\displaystyle p_{\mathrm {iniziale} }=p_{\mathrm {finale} }}
Se una particella di massa M decade in due particelle (etichettate con 1 e 2) la conservazione del quadrimomento
diventa
p
M
=
p
1
+
p
2
{\displaystyle p_{M}=p_{1}+p_{2}}
che può essere scritto come
p
M
−
p
1
=
p
2
{\displaystyle p_{M}-p_{1}=p_{2}}
elevando al quadrato entrambi i membri
p
M
2
+
p
1
2
−
2
p
M
p
1
=
p
2
2
{\displaystyle p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}}
Usando la definizione precedentemente definita del quadrato del quadrimpulso si ha
M
2
+
m
1
2
−
2
(
E
M
E
1
−
p
→
M
⋅
p
→
1
)
=
m
2
2
{\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}}
Se supponiamo la particella "madre" inizialmente ferma:
p
→
M
=
0
E
M
=
M
{\displaystyle {\vec {p}}_{M}=0\qquad E_{M}=M}
si ottiene
M
2
+
m
1
2
−
2
M
E
1
=
m
2
2
{\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}}
e quindi si arriva alla formula dell'energia per la particella 1:
E
1
=
M
2
+
m
1
2
−
m
2
2
2
M
{\displaystyle E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}}
Similmente per la particella 2:
E
2
=
M
2
+
m
2
2
−
m
1
2
2
M
{\displaystyle E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}}
L'angolo con cui è emessa una particella misurato nel sistema del laboratorio è collegato all'angolo nel sistema del centro di massa tramite l'equazione
tan
θ
′
=
sin
θ
γ
(
β
/
β
′
+
cos
θ
)
{\displaystyle \tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}}
Data una particella si massa M che decade in due particelle 1 e 2, nel sistema di riferimento fermo della particella "madre" si ha
|
p
→
1
|
=
|
p
2
→
|
=
[
(
M
2
−
(
m
1
+
m
2
)
2
)
(
M
2
−
(
m
1
−
m
2
)
2
)
]
1
/
2
2
M
.
{\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}.}
In coordinate sferiche:
d
3
p
→
=
|
p
|
2
d
p
d
Ω
=
p
2
d
ϕ
d
(
cos
θ
)
.
{\displaystyle d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right).}
Conoscendo l'elemento nello spazio delle fasi per il decadimento a due corpi si ottiene che la larghezza di decadimento è:
d
Γ
=
1
32
π
2
|
M
|
2
|
p
→
1
|
M
2
d
ϕ
1
d
(
cos
θ
1
)
.
{\displaystyle d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right).}