Decadimento particellare

In fisica delle particelle, il decadimento particellare è il decadimento di una particella subatomica. Si tratta di un processo spontaneo mediante il quale una particella instabile si trasforma in altre particelle subatomiche. Se i prodotti di decadimento sono instabili, decadranno a loro volta.

Vita media di alcune particelle

Dai dati del Particle Data Group, la vita media di alcune importanti particelle risulta essere:

Tipologia	Nome	Simbolo	Massa (MeV/c2)	Vita media
Leptone	Elettrone / Positrone	$e^{-}\,/\,e^{+}$$e^{-}\,/\,e^{+}$	0,511	$>4,6\times 10^{26}\ \mathrm {anni}$$>4,6\times 10^{26}\ \mathrm {anni}$
	Muone / Antimuone	$\mu ^{-}\,/\,\mu ^{+}$$\mu ^{-}\,/\,\mu ^{+}$	105,6	$2,2\times 10^{-6}\ \mathrm {secondi}$$2,2\times 10^{-6}\ \mathrm {secondi}$
	Tauone / Antitauone	$\tau ^{-}\,/\,\tau ^{+}$$\tau ^{-}\,/\,\tau ^{+}$	1777	$291\times 10^{-15}\ \mathrm {secondi}$$291\times 10^{-15}\ \mathrm {secondi}$
Mesone	Pione neutro	$\pi ^{0}$$\pi ^{0}$	135	$8,4\times 10^{-17}\ \mathrm {secondi}$$8,4\times 10^{-17}\ \mathrm {secondi}$
	Pione carico	$\pi ^{+}\,/\,\pi ^{-}$$\pi ^{+}\,/\,\pi ^{-}$	139,6	$2,6\times 10^{-8}\ \mathrm {secondi}$$2,6\times 10^{-8}\ \mathrm {secondi}$
Barione	Protone / Antiprotone	$p^{+}\,/\,p^{-}$$p^{+}\,/\,p^{-}$	938,2	$>10^{25}\ \mathrm {anni}$$>10^{25}\ \mathrm {anni}$
	Neutrone / Antineutrone	$n\,/\,{\bar {n}}$$n\,/\,{\bar {n}}$	939,6	$885,7\ \mathrm {secondi}$$885,7\ \mathrm {secondi}$
Bosone	Bosone W	$W^{+}\,/\,W^{-}$$W^{+}\,/\,W^{-}$	80 400	$10^{-25}\ \mathrm {secondi}$$10^{-25}\ \mathrm {secondi}$
	Bosone Z	$Z^{0}$$Z^{0}$	91 000	$10^{-25}\ \mathrm {secondi}$$10^{-25}\ \mathrm {secondi}$

Probabilità di sopravvivenza

La vita media di una particella è indicata con $\tau$$\tau$, e la probabilità che essa sopravviva per un tempo maggiore di t prima di decadere è:

$P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}$$P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}$

dove

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

è il fattore di Lorentz della particella.

Larghezza di decadimento

Per una particella di massa M, la larghezza di decadimento è data da:

$\Gamma ={\frac {\hbar }{\tau }}$$\Gamma ={\frac {\hbar }{\tau }}$

e

$d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$$d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$

dove

• n è il numero di particelle create nel decadimento.
• ${\mathcal {M}}$$\mathcal{M}$ è l'elemento della matrice invariante che connette lo stato iniziale con lo stato finale.
• $d\Phi _{n}$$d\Phi _{n}$ è l'elemento della spazio delle fasi
• $p_{i}$$p_{i}$ è il quadri-momento della particella i.

Lo spazio delle fasi è determinato da

$d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)$$d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)$

dove $\delta ^{4}$$\delta ^{4}$ è la delta di Dirac in quattro dimensioni.

Quadrimpulso

Il quadrimpulso di una particella è anche detto massa invariante.

Il quadrato del quadrimpulso è definito come la differenza tra il quadrato dell'energia e il quadrato del tri-impulso:

$p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)$$p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)$

Nel caso di due particelle si ha:

$p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})$$p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})$

Il quadrimpulso è conservato in tutti i decadimenti ed interazioni tra particelle

$p_{\mathrm {iniziale} }=p_{\mathrm {finale} }$$p_{\mathrm {iniziale} }=p_{\mathrm {finale} }$

Decadimento a due corpi

Se una particella di massa M decade in due particelle (etichettate con 1 e 2) la conservazione del quadrimomento diventa

$p_{M}=p_{1}+p_{2}$$p_{M}=p_{1}+p_{2}$

che può essere scritto come

$p_{M}-p_{1}=p_{2}$$p_{M}-p_{1}=p_{2}$

elevando al quadrato entrambi i membri

$p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}$$p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}$

Usando la definizione precedentemente definita del quadrato del quadrimpulso si ha

$M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}$$M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}$

Se supponiamo la particella "madre" inizialmente ferma:

${\vec {p}}_{M}=0\qquad E_{M}=M$${\vec {p}}_{M}=0\qquad E_{M}=M$

si ottiene

$M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}$$M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}$

e quindi si arriva alla formula dell'energia per la particella 1:

$E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}$$E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}$

Similmente per la particella 2:

$E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}$$E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}$

L'angolo con cui è emessa una particella misurato nel sistema del laboratorio è collegato all'angolo nel sistema del centro di massa tramite l'equazione

$\tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}$$\tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}$

Larghezza di decadimento

Data una particella si massa M che decade in due particelle 1 e 2, nel sistema di riferimento fermo della particella "madre" si ha

$|{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}.$$|{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}.$

In coordinate sferiche:

$d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right).$$d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right).$

Conoscendo l'elemento nello spazio delle fasi per il decadimento a due corpi si ottiene che la larghezza di decadimento è:

$d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right).$$d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right).$

Voci correlate

• Distribuzione Breit-Wigner relativistica
• Fisica delle particelle
• Interazione debole
• Lista delle particelle