Decadimento particellare

In fisica delle particelle, il decadimento particellare è il decadimento di una particella subatomica. Si tratta di un processo spontaneo mediante il quale una particella instabile si trasforma in altre particelle subatomiche. Se i prodotti di decadimento sono instabili, decadranno a loro volta.

Vita media di alcune particelle

Dai dati del Particle Data Group, la vita media di alcune importanti particelle risulta essere:

Tipologia	Nome	Simbolo	Massa (MeV/c2)	Vita media
Leptone	Elettrone / Positrone	$e^- \, / \, e^+$	0,511	$> 4,6 \times 10^{26} \ \mathrm{anni}$
	Muone / Antimuone	$\mu^- \, / \, \mu^+$	105,6	$2,2\times 10^{-6} \ \mathrm{secondi}$
	Tauone / Antitauone	$\tau^- \, / \, \tau^+$	1777	$291 \times 10^{-15} \ \mathrm{secondi}$
Mesone	Pione neutro	$\pi^0$	135	$8,4 \times 10^{-17} \ \mathrm{secondi}$
	Pione carico	$\pi^+ \, / \, \pi^-$	139,6	$2,6 \times 10^{-8} \ \mathrm{secondi}$
Barione	Protone / Antiprotone	$p^+ \, / \, p^-$	938,2	$> 10^{29} \ \mathrm{anni}$
	Neutrone / Antineutrone	$n \, / \, \bar{n}$	939,6	$885,7 \ \mathrm{secondi}$
Bosone	Bosone W	$W^+ \, / \, W^-$	80 400	$10^{-25} \ \mathrm{secondi}$
	Bosone Z	$Z^0$	91 000	$10^{-25} \ \mathrm{secondi}$

Probabilità di sopravvivenza

La vita media di una particella è indicata con $\tau$, e la probabilità che essa sopravviva per un tempo maggiore di t prima di decadere è:

$P(t) = e^{-t/(\gamma \tau)}$

dove

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

è il fattore di Lorentz della particella.

Larghezza di decadimento

Per una particella di massa M, la larghezza di decadimento è data da:

$\Gamma = \frac{\hbar}{\tau}$

e

$d \Gamma_n = \frac{(2\pi)^4}{2M}\left|\mathcal{M} \right|^2 d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n)$

dove

• n è il numero di particelle create nel decadimento.
• $\mathcal{M}$ è l'elemento della matrice invariante che connette lo stato iniziale con lo stato finale.
• $d\Phi_n$ è l'elemento della spazio delle fasi
• $p_i$ è il quadri-momento della particella i.

Lo spazio delle fasi è determinato da

$d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n) = \delta^4 (P - \sum_{i=1}^n p_i) \left( \prod_{i=1}^n \frac{d^3 \vec{p}_i}{(2\pi)^3 2 E_i} \right)$

dove $\delta^4$ è la delta di Dirac in quattro dimensioni.

Quadrimpulso

Per approfondire, vedi Quadrimpulso.

Il quadrimpulso di una particella è anche detto massa invariante.

Il quadrato del quadrimpulso è definito come la differenza tra il quadrato dell'energia e il quadrato del tri-impulso:

$p^2 = E^2 - (\vec{p})^2 = m^2 \quad \quad \quad \quad (1)$

Nel caso di due particelle si ha:

$p^2 = \left(p_1 + p_2 \right)^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 = m_1^2 + m_2^2 + 2(E_1 E_2 - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2)$

Il quadrimpulso è conservato in tutti i decadimenti ed interazioni tra particelle

$p_\mathrm{iniziale} = p_\mathrm{finale}$

Decadimento a due corpi

Se una particella di massa M decade in due particelle (etichettate con 1 e 2) la conservazione del quadrimomento diventa

$p_M = p_1 + p_2$

che può essere scritto come

$p_M - p_1 = p_2$

elevando al quadrato entrambi i membri

$p_M^2 + p_1^2 - 2p_M p_1 = p_2^2$

Usando la definizione precedentemente definita del quadrato del quadrimpulso si ha

$M^2 + m_1^2 - 2 \left(E_M E_1 - \vec{p}_M \cdot \vec{p}_1 \right) = m_2^2$

Se supponiamo la particella "madre" inizialmente ferma:

$\vec{p}_M =0 \qquad E_M = M$

si ottiene

$M^2 + m_1 ^2 - 2 M E_1 = m_2^2$

e quindi si arriva alla formula dell'energia per la particella 1:

$E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2 M}$

Similmente per la particella 2:

$E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2 M}$

L'angolo con cui è emessa una particella misurato nel sistema del laboratorio è collegato all'angolo nel sistema del centro di massa tramite l'equazione

$\tan{\theta'} = \frac{\sin{\theta}}{\gamma \left(\beta / \beta' + \cos{\theta} \right)}$

Larghezza di decadimento

Data una particella si massa M che decade in due particelle 1 e 2, nel sistema di riferimento fermo della particella "madre" si ha

$|\vec{p}_1| = |\vec{p_2}| = \frac{[(M^2 - (m_1 + m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)]^{1/2}}{2M}.$

In coordinate sferiche:

$d^3 \vec{p} = |p|^2\, dp d\Omega = p^2\, d \phi\, d\left( \cos \theta \right).$

Conoscendo l'elemento nello spazio delle fasi per il decadimento a due corpi si ottiene che la larghezza di decadimento è:

$d\Gamma = \frac{1}{32 \pi^2} \left| \mathcal{M} \right|^2 \frac{|\vec{p}_1|}{M^2}\, d\phi_1\, d\left( \cos \theta_1 \right).$

Voci correlate

• Distribuzione Breit-Wigner relativistica
• Fisica delle particelle
• Interazione debole
• Lista delle particelle

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