Curvatura principale

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In geometria differenziale, ad ogni punto di una superficie differenziabile nello spazio euclideo \R^3 sono associate due curvature principali: queste sono il massimo ed il minimo della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.

La curvatura gaussiana e la curvatura media sono ottenute rispettivamente come prodotto e come media aritmetica delle due curvature principali.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La curvatura di una curva in un punto è il reciproco del raggio del cerchio osculatore nel punto.

Sia  x un punto in una superficie differenziabile X contenuta in \R^3, e \vec n una normale alla superficie scelta in  x . Ciascun piano contenente la normale interseca X vicino ad x in una curva \gamma. La curvatura di \gamma in  x ha anche un segno: questo è positivo se la curva gira nella stessa direzione di \vec n (cioè se il cerchio osculatore sta rispetto ad X nello stesso lato di \vec n), e negativa altrimenti.

Ogni vettore \vec v di lunghezza unitaria del piano tangente in x a  X definisce il piano passante per \vec n e \vec v . I vettori tangenti di lunghezza unitaria formano una circonferenza  C : la curvatura è quindi una funzione

f:C\to\R.

Poiché  C è compatto e la funzione è continua, questa ha un massimo ed un minimo. I valori massimo e minimo sono le curvature principali della superficie X in x.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Direzioni principali in un cilindro. Le curvature sono k_1=0 (in verde) e k_2>0 (in blu).

Direzioni principali ortogonali[modifica | modifica sorgente]

Se le curvature principali sono distinte, cioè se la funzione f non è costante, il punto di massimo è assunto su due direzioni opposte di  C, e anche il punto di minimo. Le direzioni principali sono le due rette del piano tangente in  x contenenti rispettivamente i punti di minimo e di massimo. Queste sono inoltre ortogonali, come dimostrato da Eulero nel 1760.

Esempi di superfici in cui la  f è costante e quindi le direzioni principali non sono definite sono il piano e la sfera. In questo caso la funzione f è costantemente zero (nel piano) o un valore k>0 (la sfera).

Piani ortogonali[modifica | modifica sorgente]

Punto di sella con piani normali nelle direzioni delle curvature principali

Il piano tangente in x ed i piani normali alle due direzioni principali (se definite) formano una terna di piani ortogonali a due a due.

Curvatura gaussiana e media[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto delle due curvature principali k_1k_2 è la curvatura gaussiana della superficie in x. La media aritmetica (k_1+k_2)/2) è la curvatura media. Entrambe queste quantità sono importanti nello studio della geometria differenziale di una superficie.

Dipendenza dalla normale[modifica | modifica sorgente]

Se la normale è scelta nel senso opposto, la funzione f e quindi le curvature principali k_1 e k_2 cambiano di segno. Le direzioni principali non cambiano (vengono scambiate), la curvatura gaussiana non cambia, mentre quella media cambia di segno.

Tipologia di punti[modifica | modifica sorgente]

Esistono alcuni aggettivi che descrivono le curvature principali di un punto x. Un punto x è:

  • ellittico se le curvature principali hanno lo stesso segno. In questo caso, la superficie è convessa in un intorno di x;
  • parabolico se una curvatura principale è nulla.
  • iperbolico se le curvature principali hanno segni opposti.
  • ombelicale se le curvature principali coincidono. In questo caso, non sono definite le direzioni principali, e si intende che tutte le direzioni sono principali.

Un punto è ellittico, parabolico o iperbolico se la curvatura gaussiana è rispettivamente positiva, nulla o negativa.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Superfici a curvatura costante[modifica | modifica sorgente]

Se  X è una sfera di raggio r o un piano, tutti i punti sono ombelicali e con curvature principali ovunque  1/r (nella sfera) oppure 0 (nel piano).

Il piano ed il cilindro[modifica | modifica sorgente]

In un cilindro di raggio r, tutti i punti sono parabolici, e hanno curvature principali 0 e 1/r. La curvatura gaussiana è però sempre zero in ogni punto, come nel piano: arrotolando un foglio di carta si cambiano le sue curvature principali ma non la sua curvatura gaussiana. Questo è un effetto del fatto che la curvatura gaussiana è intrinseca (dipende solo dalla superficie) mentre le curvature principali sono estrinseche (dipendono da come la superficie è posta nello spazio).

Linee di curvatura in uno sferoide.

Linee di curvatura[modifica | modifica sorgente]

Una linea di curvatura in una superficie è una curva che è in ogni punto tangente ad una direzione principale. Per ogni punto non-ombelicale passano localmente esattamente due linee di curvatura.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976. ISBN 0-13-212589-7.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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