Curvatura principale

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In geometria differenziale, ad ogni punto di una superficie differenziabile nello spazio euclideo sono associate due curvature principali: queste sono il massimo ed il minimo della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.

La curvatura gaussiana e la curvatura media sono ottenute rispettivamente come prodotto e come media aritmetica delle due curvature principali.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La curvatura di una curva in un punto è il reciproco del raggio del cerchio osculatore nel punto.

Sia un punto in una superficie differenziabile contenuta in , e una normale alla superficie scelta in . Ciascun piano contenente la normale interseca vicino ad in una curva . La curvatura di in ha anche un segno: questo è positivo se la curva gira nella stessa direzione di (cioè se il cerchio osculatore sta rispetto ad nello stesso lato di ), e negativa altrimenti.

Ogni vettore di lunghezza unitaria del piano tangente in a definisce il piano passante per e . I vettori tangenti di lunghezza unitaria formano una circonferenza , la curvatura è quindi una funzione

Poiché è compatto e la funzione è continua, questa ha un massimo ed un minimo (teorema di Weierstrass). I valori massimo e minimo sono le curvature principali della superficie in .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Direzioni principali in un cilindro. Le curvature sono (in verde) e (in blu).

Direzioni principali ortogonali[modifica | modifica wikitesto]

Se le curvature principali sono distinte, cioè se la funzione non è costante, il punto di massimo è assunto su due direzioni opposte di , e anche il punto di minimo. Le direzioni principali sono le due rette del piano tangente in contenenti rispettivamente i punti di minimo e di massimo. Queste sono inoltre ortogonali, come dimostrato da Eulero nel 1760.

Esempi di superfici in cui la è costante e quindi le direzioni principali non sono definite sono il piano e la sfera. In questo caso la funzione è costantemente zero (nel piano) o un valore (la sfera).

Piani ortogonali[modifica | modifica wikitesto]

Punto di sella con piani normali nelle direzioni delle curvature principali

Il piano tangente in ed i piani normali alle due direzioni principali (se definite) formano una terna di piani ortogonali a due a due.

Curvatura gaussiana e media[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto delle due curvature principali è la curvatura gaussiana della superficie in . La media aritmetica è la curvatura media. Entrambe queste quantità sono importanti nello studio della geometria differenziale di una superficie.

Dipendenza dalla normale[modifica | modifica wikitesto]

Se la normale è scelta nel senso opposto, la funzione e quindi le curvature principali e cambiano di segno. Le direzioni principali non cambiano (vengono scambiate), la curvatura gaussiana non cambia, mentre quella media cambia di segno.

Tipologia di punti[modifica | modifica wikitesto]

Esistono alcuni aggettivi che descrivono le curvature principali di un punto . Un punto è:

  • ellittico se le curvature principali hanno lo stesso segno. In questo caso, la superficie è convessa in un intorno di ;
  • parabolico se una curvatura principale è nulla.
  • iperbolico se le curvature principali hanno segni opposti.
  • ombelicale se le curvature principali coincidono. In questo caso, non sono definite le direzioni principali, e si intende che tutte le direzioni sono principali.

Un punto è ellittico, parabolico o iperbolico se la curvatura gaussiana è rispettivamente positiva, nulla o negativa.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Superfici a curvatura costante[modifica | modifica wikitesto]

Linee di curvatura in uno sferoide.

Se è una sfera di raggio o un piano, tutti i punti sono ombelicali e con curvature principali ovunque (nella sfera) oppure 0 (nel piano).

Il piano ed il cilindro[modifica | modifica wikitesto]

In un cilindro di raggio , tutti i punti sono parabolici, e hanno curvature principali e . La curvatura gaussiana è però sempre zero in ogni punto, come nel piano: arrotolando un foglio di carta si cambiano le sue curvature principali ma non la sua curvatura gaussiana. Questo è un effetto del fatto che la curvatura gaussiana è intrinseca (dipende solo dalla superficie) mentre le curvature principali sono estrinseche (dipendono da come la superficie è posta nello spazio).

Linee di curvatura[modifica | modifica wikitesto]

Una linea di curvatura in una superficie è una curva che è in ogni punto tangente ad una direzione principale. Per ogni punto non-ombelicale passano localmente esattamente due linee di curvatura.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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