Operatore di Weingarten

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, l'operatore di Weingarten è una trasformazione lineare costruita a partire da una superficie contenuta nello spazio tridimensionale.

Definizione

Se $\Sigma$ è una superficie regolare ed ${\hat {n}}$ un campo di versori normali su questa superficie, l'operatore forma o di Weingarten è un'applicazione lineare in un punto P:

$W_{P}:T(\Sigma )\longrightarrow T(\Sigma )$

tale che ad ogni curva u nel punto P sulla superficie sia associato un operatore:

$W_{P}(u)=-{\frac {\partial {\hat {n}}}{\partial u}}$

Esso è in verità un endomorfismo del piano tangente ed è autoaggiunto, cioè:

$W_{P}(u)\cdot v=u\cdot W_{P}(v)$

esso dunque è rappresentato da una matrice: gli invarianti di questa matrice (e quindi dell'operatore di Weingarten) hanno un significato geometrico notevole per le caratteristiche delle superfici.

Curvatura delle superfici

Grazie all'operatore di Weingarten possiamo esprimere la seconda forma differenziale di Gauss come:

$II_{G}=W_{P}(u)\cdot v$

A questo punto è possibile definire le curvature principali della superficie in un punto P come gli autovalori dell'operatore di Weingarten e, in corrispondenza di essi si trovano le direzioni principali della superficie che sono gli autovettori.

Inoltre la traccia dell'operatore di Weingarten è esattamente la curvatura media della superficie in quel punto:

$H(P)={\frac {1}{2}}\cdot tr(W_{P})$

e il suo determinante è proprio la curvatura gaussiana della superficie:

$K(P)=det(W_{P})=|W_{P}|$

Operatore forma

L'operatore di Weingarten è un operatore forma dato per definizione:

$W_{P}=I_{G}^{-1}\cdot II_{G}$

in modo che il problema agli autovalori:

$(II_{G}-k\cdot I_{G}){\vec {w}}=0$

dove $I_{G}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}$ e $II_{G}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}$, k è l'autovalore e ${\vec {w}}$ l'autovettore corrispondente; abbia soluzioni se si annulla il determinante:

$det(S-k\cdot \mathbb {I} )=det(I_{G}^{-1}\cdot II_{G}-k\cdot I_{G}^{-1}\cdot I_{G})=det(I_{G}^{-1})\cdot det(II_{G}-k\cdot I_{G})$

I due autovalori di questo determinante sono esattamente le curvature principali massima e minima della superficie in un punto P.

Il determinante di questo operatore è la curvatura di Gauss:

$det(I_{G}^{-1}\cdot II_{G})={\frac {det(II_{G})}{det(I_{G})}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}$

La traccia di questo operatore è la curvatura media:

$Tr(I_{G}^{-1}\cdot II_{G})=Tr{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}={\frac {LG-2MF+EN}{EG-F^{2}}}$

Voci correlate

• Superficie (matematica)
• Superficie parametrica
• Normale (superficie)