Operatore di Weingarten

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In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, l'operatore di Weingarten è una trasformazione lineare costruita a partire da una superficie contenuta nello spazio tridimensionale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se è una superficie regolare ed un campo di versori normali su questa superficie, l'operatore forma o di Weingarten è un'applicazione lineare in un punto P:

tale che ad ogni curva u nel punto P sulla superficie sia associato un operatore:

Esso è in verità un endomorfismo del piano tangente ed è simmetrico, cioè:

esso dunque è rappresentato da una matrice: gli invarianti di questa matrice (e quindi dell'operatore di Weingarten) hanno un significato geometrico notevole per le caratteristiche delle superfici.

Curvatura delle superfici[modifica | modifica wikitesto]

Grazie all'operatore di Weingarten possiamo esprimere la seconda forma differenziale di Gauss come:

A questo punto è possibile definire le curvature principali della superficie in un punto P come gli autovalori dell'operatore di Weingarten e, in corrispondenza di essi si trovano le direzioni principali della superficie che sono gli autovettori.

Inoltre la traccia dell'operatore di Weingarten è esattamente la curvatura media della superficie in quel punto:

e il suo determinante è proprio la curvatura gaussiana della superficie:

Operatore forma[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore di Weingarten è un operatore forma dato per definizione:

in modo che il problema agli autovalori:

dove e , k è l'autovalore e l'autovettore corrispondente; abbia soluzioni se si annulla il determinante:

I due autovalori di questo determinante sono esattamente le curvature principali massima e minima della superficie in un punto P.

Il determinante di questo operatore è la curvatura di Gauss:

La traccia di questo operatore è la curvatura media:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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