Superficie parametrica

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il concetto della modellistica del clima, vedi Parametrizzazione (clima).

Una parametrizzazione è un'applicazione, più nello specifico una funzione vettoriale, infinitamente differenziabile in aperto e connesso. Per e l'immagine di questa applicazione è una superficie parametrizzata.

Una superficie parametrica è una superficie differenziabile rappresentata in un sistema di coordinate parametrico del tipo:

Una superficie si dice regolare se soddisfa le seguenti proprietà:

  • , cioè devono essere funzioni continue con derivata continua in un insieme aperto .
  • La matrice Jacobiana , abbia rango uguale a due, cioè le derivate non si annullino mai in uno stesso punto. Questa proprietà equivale a che la somma dei quadrati dei minori di ordine due sia positiva.
  • La corrispondenza tra e sia iniettiva.

Linee coordinate[modifica | modifica wikitesto]

Una superficie è un oggetto bidimensionale che vive nello spazio tridimensionale, per questo motivo i punti della superficie sono identificati da tre variabili: al variare dei punti nel dominio si trovano i punti dello spazio . Le variabili sono dette parametri coordinati.

Se sul dominio si considera un punto , per esso passeranno due curve: . In corrispondenza a questo punto sulla superficie vi sarà un punto:

Cioè:

Pensiamo allora di ricavare le tangenti e le normali in questo punto. Fissiamo prima un valore dei parametri coordinati e poi l'altro, otterremo una famiglia di curve, che si chiamano linee coordinate (che possono essere anche ortogonali):

Da queste possiamo ricavare i vettori tangenti derivando:

e i vettori normali:

I versori normali sono dati:

Piano tangente[modifica | modifica wikitesto]

Una superficie regolare parametrica ammette sempre piano tangente in un punto dato dalla:

Il piano tangente ad una superficie parametrica è un sottospazio vettoriale di dimensione 2. Questo piano, ha la proprietà di contenere i vettori tangenti a tutte le curve situate sulla superficie e passanti per il punto considerato.

L'ipotesi di regolarità della superficie parametrica, implica l'esistenza di un piano tangente in ogni punto della superficie. Si parla di piano tangente in a , altrimenti denotato con .

Il piano tangente è indipendente dalla parametrizzazione usata.

Prima forma differenziale di Gauss[modifica | modifica wikitesto]

A questo punto possiamo considerare il problema di come si rappresentano le curve tracciate sulla superficie , cioè alle proprietà metriche della superficie e fondamentale il calcolo di area di una superficie. Per fare questo prendiamo il vettore tangente del piano , nel punto : . A questo vettore corrisponde un vettore tangente sulla superficie :

Come si modifica la lunghezza di questo vettore sulla superficie? Costruiamo il differenziale del vettore:

Ora dobbiamo eseguire i quadrati con la sostituzione: e così via per tutte le derivate, otteniamo la prima forma differenziale di Gauss:

dove:

Allo stesso risultato potevamo arrivare prendendo il prodotto scalare: .

Si chiama prima forma fondamentale, e si indica con , la restrizione del prodotto scalare di su . Allora la lunghezza di un segmento sulla superficie è:

Ora ci chiediamo come si trasforma un elemento di superficie :

Quadrando la 12), otteniamo proprio le 10). Dunque l'elemento di superficie si trasforma:

dove è la prima forma quadratica di Gauss o prima forma differenziale di Gauss.

Da questa è possibile calcolare l'area di una superficie:

e anche un qualsiasi integrale di superficie:

Da queste due ultime osservazioni circa il calcolo degli integrali, si vede che la prima forma differenziale di Gauss è un determinante:

e poiché i coefficienti non sono altro che i coefficienti di una metrica sulla superficie allora questa matrice è un tensore metrico.

Seconda forma differenziale di Gauss[modifica | modifica wikitesto]

La seconda forma quadratica è una proprietà intrinseca della superficie, e rappresenta le proprietà di curvatura della stessa. Essa può essere ricavata direttamente dalla prima forma differenziale di Gauss e dai vettori tangente e normale.

Sia dunque il versore normale ottenibile dal vettore normale:

Dalla prima forma differenziale di Gauss:

Allora i coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss:

Da cui otteniamo la seconda forma differenziale (o quadratica) di Gauss:

Dunque li possiamo esplicitare:

Curvature normali[modifica | modifica wikitesto]

Si chiama curvatura normale della superficie in un punto nella direzione della linea e della linea rispettivamente, la funzione:

Curvature principali e curvatura di Gauss[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Operatore di Weingarten.

Sono dette curvature principali i due valori, massimo e minimo, della curvatura normale corrispondenti ai due versi del piano tangente (a seguito dei due versori normali). Indicando con le curvature principali di una superficie in un punto , allora si chiama curvatura Gaussiana o curvatura totale:

e definiamo anche la curvatura media:

Per quanto riguarda la curvatura di Gauss, è in generale difficile trovare le due direzioni secondo le quali le curvature principali sono valori massimi e minimi. Il criterio è fornito dall'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Dalle forme differenziali di Gauss possiamo ricavare molte informazioni riguardo alle caratteristiche geometriche delle superfici parametriche:

  1. La curvatura delle curve sulla superficie segue dal teorema di Meusnier e dall'operatore di Weingarten.
  2. La curvatura della superficie segue dal theorema egregium di Gauss.
  3. Teorema di Dupin.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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