Punto di sella

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un punto di sella (in rosso) del grafico di z=x2−y2.

In analisi matematica, un punto di sella di una funzione reale di più variabili reali è un punto critico P del dominio della f in cui la matrice hessiana risulti indefinita: vale a dire non sia né una matrice semidefinita positiva, né una matrice semidefinita negativa. Ciò è equivalente a dire che la matrice hessiana ha un autovalore strettamente positivo ed uno strettamente negativo.

Nel caso n = 2, il grafico della funzione ha una forma intorno a P che ricorda la sella di un cavallo. In particolare, esistono due curve passanti per P tali che, per la restrizione di f su queste curve, P è rispettivamente punto di minimo e punto di massimo relativo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia

Nel punto abbiamo un punto stazionario dato che il gradiente è nullo: infatti

La forma quadratica della funzione, nel punto , è data dall'espressione sottostante:

Ma:

pertanto, nel punto , si ha:

Si può ora verificare semplicemente (ad esempio tramite la matrice hessiana corrispondente) che la forma quadratica non è né semidefinita positiva né semidefinita negativa, per cui risulta essere indefinita, e quindi il punto (0,0) è un punto di sella. La matrice hessiana è:

Visto che la matrice hessiana è già in forma diagonale, si vede anche immediatamente che gli autovalori sono 2 e -2: avendo sia un autovalore positivo che uno negativo, la matrice hessiana è, per l'appunto, indefinita.

Si può anche osservare che in questo esempio la forma hessiana è in ogni punto, non solo in . Questo non è casuale: dipende dal fatto che la funzione data era un polinomio di secondo grado e pertanto le sue derivate parziali seconde sono costanti.

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica