Vorticità potenziale

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Il termine vorticità potenziale si riferisce al rapporto tra vorticità e spessore di un vortice [1].

Riveste grande importanza in meteorologia e climatologia perché si mantiene costante in assenza di attriti, conseguentemente alla conservazione del momento angolare. Aiuta pertanto a comprendere tutti i fenomeni in cui è implicata la produzione di vorticità, come le onde di Rossby, la ciclogenesi, le correnti oceaniche.

Dal punto di vista matematico, con questo termine si indicano alcune diverse grandezze [2] di cui le più importanti sono: la vorticità potenziale di Rossby[3] e la vorticità potenziale di Ertel [4]. La prima si conserva nei moti di fluidi omogenei con velocità orizzontali indipendenti dall'altezza (approssimazione shallow homogeneous layer) [5]. La seconda, più in generale, nei fluidi stratificati, a meno di effetti frizionali e diabatici [6].

L'uso dello stesso nome per quantità diverse non genera confusione, perché la prima vale solo per fluidi omogenei in moti quasi orizzontali, la seconda vale solo per fluidi stratificati [7].

Descrizione intuitiva[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un piccolo cilindro di fluido ideale, incomprimibile e privo di viscosità. Supponiamo che al tempo t_1 il cilindro ruoti intorno al suo asse con una velocità angolare \omega_1 uniforme su tutto il cilindro. Se il cilindro si allunga, cioè se la sua altezza aumenta, per effetto della conservazione del momento angolare comincia a ruotare più velocemente.

Potential vorticity.png

Mostriamo subito che la velocità angolare è proporzionale all'altezza del cilindro. Infatti, se il raggio del cilindro all'istante t_1 è r_1 e la sua massa è m, il suo momento angolare è dato da:


L = I_1\omega_1 = \frac{1}{2}m r_1^2 \omega_1

Se il cilindro si allunga e si restringe, all'istante t_2 il momento angolare è dato da:


L = I_2\omega_2 = \frac{1}{2}m r_2^2 \omega_2

Eguagliando si ottiene:


r_1^2 \omega_1 = r_2^2 \omega_2

che equivale a dire:


\Sigma_1 \omega_1 = \Sigma_2 \omega_2

dove \Sigma_1 e \Sigma_2 sono le superfici delle facce circolari del cilindro agli istanti t_1 e t_2.

Dato che il fuido è incomprimibile il volume del cilindro rimane costante. Pertanto la sua altezza è inversamente proporzionale alla superficie circolare. Quindi risulta:


\frac{\omega_1}{h_1} = \frac{\omega_2}{h_2}

che equivale a dire:


\frac{\zeta_1}{h_1} = \frac{\zeta_2}{h_2}

dato che \zeta = 2 \omega, come si può facilmente calcolare usando la definizione di vorticità

Vorticità potenziale di Rossby e sua conservazione[modifica | modifica wikitesto]

La vorticità potenziale di Rossby è data da:


Q = \frac{\omega_0 + \Delta \omega}{\Delta z}

dove ω0 è la vorticità planetaria, Δω è la vorticità del fluido relativa alla superficie terrestre, Δz è lo spessore verticale dello strato di fluido omogeneo.

Chiaramente la vorticità potenziale di Rossby può essere definita solo in un sistema in cui la componente orizzontale della velocità sia indipendente dall'altezza, e la componente verticale sia trascurabile. Si parla in questo caso di approssimazione shallow homogeneous layer, usata spesso in climatologia. In questa approssimazione, trascurando gli effetti dello stress turbolento, la vorticità potenziale di Rossby si conserva.

Per derivare in modo rigoroso questo asserto si parte dall'equazione della vorticità per moti sinottici. Dato che il fluido è omogeneo vale la variante barotropica dell'equazione:


\frac{1}{\omega_0 + \Delta \omega} \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (\omega_0 + \Delta \omega) = - \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} \right)

L'equazione di continuità della massa per fluidi incomprimibili è equivalente a:


\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} = - \frac{\partial v_Z}{\partial z}

quindi risulta:


\frac{1}{\omega_0 + \Delta \omega} \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (\omega_0 + \Delta \omega) = \frac{\partial v_z}{\partial z}

integrando sull'altezza e ipotizzando in modo accettabile per i moti sinottici che le componenti orizzontali di velocità siano indipendenti dalla quota si ottiene:


\frac{\Delta z}{\omega} \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (\omega_0 + \Delta \omega) = \int_0^{\Delta z} \frac{\partial v_z}{\partial z} dz = v_z(\Delta z) - v_z(0) = \frac{\operatorname dz}{\operatorname dt}

dividendo per Δz:


\frac{1}{\omega_0 + \Delta \omega} \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (\omega_0 + \Delta \omega) = \frac{1}{\Delta z} \frac{\operatorname dz}{\operatorname dt}

Integrando tra due tempi arbitrari t_1 e t_2 e rimaneggiando si ottiene subito:


\frac{\omega_1}{\Delta z_1} = \frac{\omega_2}{\Delta z_2}

Vorticità potenziale di Ertel e sua conservazione[modifica | modifica wikitesto]

La vorticità potenziale di Ertel è data da:


Q = \frac{\zeta}{\rho} \cdot \nabla \theta

dove \zeta è la vorticità totale del fluido, \theta è la temperatura potenziale, \rho è la densità.

Questa grandezza si conserva in moti adiabatici, nei quali cioè gli scambi di calore sono piccoli, e trascurando effetti frizionali e turbolenti. Questa condizione vale approssimativamente per i moti atmosferici. In questa approssimazione una particella d'aria è vincolata a muoversi lungo una superficie isoentropica, che è anche una superficie a temperatura potenziale costante. Se le superfici isoentropiche sono quasi piane rispetto alla curvatura della rotazione dell'aria, allora la rotazione avviene lungo le superfici, e la vorticità è approssimativamente parallela al gradiente della temperatura potenziale.

Potential vorticity2.png

Esaminando il moto della particella d'aria in figura, e riprendendo le considerazioni fatte all'inizio dell'articolo, si ottiene che deve essere:


\zeta \cdot \delta \Sigma = Costante

dove \delta \Sigma è la superficie della particella posta sul piano insentropico. La massa \delta M della particella è costante, e si ha:


\delta M = \delta \Sigma \cdot \delta z \cdot \rho

dove \delta z è la lunghezza della particella perpendicolarmente alla superficie isoentropica. Da questa relazione si ottiene:


\delta \Sigma = \frac{1}{\rho} \frac{\delta z}{\delta M} = \frac{1}{\rho} \frac{\delta \theta}{\delta z} \frac{\delta M}{\delta \theta}

dove \delta \theta è la differenza di temperatura potenziale tra la base e la sommità della particella, e rimane costante. Quindi si ottiene:


\frac{\zeta}{\rho} \frac{\delta \theta}{\delta z} = Costante

Da questo passaggio si capisce con chiarezza come la grandezza \rho \frac{\delta z}{\delta \theta} sia una misura dello spessore locale del fluido non omogeneo.

Al limite per \delta \theta e \delta z infinitamente piccoli si ottiene:


\frac{\zeta}{\rho} \cdot \nabla \theta = Costante

La derivazione proposta non è completa, perché richiede che le superfici isoentropiche siano quasi piane, condizione non richiesta per la conservazione della vorticità potenziale di Ertel. Può essere facilmente estesa considerando nel ragionamento solo la componente di \zeta parallela a \nabla \theta.

Una derivazione più rigorosa consiste nel ricavare l'asserto dall'equazione della vorticità [8].

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

La conservazione della vorticità potenziale ha importanti conseguenze sui moti atmosferici e oceanici. Seguono alcuni esempi che illustrano questo fatto.

Flusso meridionale di un fluido inizialmente non rotante[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una colonna di fluido (aria o acqua) inizialmente a riposo a una certa latitudine. La sua vorticità assoluta \zeta_{abs} all'istante iniziale è data dalla sola vorticità planetaria, cioè dal fatto che la superficie terrestre ruota su se stessa. Trascuriamo la componente verticale della velocità, supponiamo che valga l'approssimazione shallow homogeneous layer. Supponiamo anche che lo spessore della colonna non cambi, così la conservazione della vorticità potenziale di Rossby si riduce a:


\zeta_{abs} = \zeta + f = Costante

Per soddisfare questa condizione, se la colonna si sposta verso Nord, si troverà ad avere una vorticità relativa negativa, dato che la vorticità planetaria aumenta con la latitudine. Se f_0 e f_1 sono la vorticità planetaria all'istante iniziale e finale si ottiene:


\zeta_1 = f_0 - f_1

Questo semplice esempio illustra come lo spostamento in direzione meridionale, cioè in direzione Nord-Sud, implichi la produzione di vorticità relativa.

Flussi zonali[modifica | modifica wikitesto]

Potential vorticity westerly flux.png

I flussi zonali sono correnti aventi direzione Est-Ovest. Per effetto della conservazione della vorticità potenziale i flussi zonali westerly, cioè che vanno da Ovest a Est, tendono a mantenersi in questa direzione. Infatti se un flusso westerly ha una traiettoria curva che lo porta verso Nord, ha inizialmente vorticità relativa positiva. Spostandosi verso Nord la vorticità planetaria aumenta, e conseguentemente diminuisce la vorticità relativa. Quando la vorticità relativa raggiunge un valore negativo il flusso curva verso Sud. Nel movimento verso Sud si verifica un meccanismo analogo, a causa del quale il flusso torna a rivolgersi verso Nord. Insomma, il flusso mediamente è sempre rivolto verso Est, e compie delle oscillazioni intorno a questa direzione [9]. Il fenomeno descritto è alla base della formazione delle onde di Rossby [10].

Potential vorticity easterly flux.png

Al contrario i flussi easterly, cioè che vanno da Est a Ovest, non mantengono questa direzione. Infatti un flusso easterly per curvare verso Nord deve avere vorticità relativa negativa. Spostandosi verso Nord la vorticità planetaria aumenta, quindi la vorticità relativa di abbassa sempre di più, e la curvatura verso Nord si accentua.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Holton, p97
  2. ^ Holton, p96
  3. ^ Holton, p107
  4. ^ Gill, p240
  5. ^ Gill, p231
  6. ^ Holton, p110
  7. ^ Gill, p240
  8. ^ Gill, p239
  9. ^ Holton, p98
  10. ^ Holton, p214

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]