Trinomio notevole

Nel calcolo letterale, precisamente nelle scomposizione dei polinomi, il trinomio notevole è un polinomio che può essere espresso nella forma:

$ax^2+bx+c \qquad (\mbox{con } a,b,c \ne 0)$

e per il quale esiste un metodo noto per scomporlo come prodotto di due binomi di primo grado.

Metodo di scomposizione

Si possono distinguere i due casi in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale o diverso da 1.

Caso a = 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale ad 1 il trinomio si presenta nella forma:

$x^2+bx+c \,$

in questo caso può essere scomposto nel prodotto di due binomi di primo grado nella forma:

$(x-u)(x-v)$

dove u e v sono due termini con le seguenti due proprietà:

• $u+v=-b$
• $u\cdot v=c$

In effetti se eseguiamo i conti otteniamo:

$\begin{align} (x-u)(x-v)&=x^2-vx-ux+uv\\ &=x^2-x(v+u)+uv\\ &=x^2+bx+c\\ \end{align}$

Un metodo pratico per trovare u e v può essere quello di trovare le due radici del polinomio. Infatti se:

$x^2+bx+c=0$

allora

$(x-u)(x-v)=0 \Rightarrow \begin{cases} x_1=u\\ x_2=v \end{cases}$

Per trovare le radici del trinomio notevole basta quindi utilizzare la formula per le equazioni di secondo grado:

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Caso a ≠ 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia diverso da 1 il polinomio si scompone nel modo seguente:

$ax^2+bx+c=a(x-u)(x-v)$

dove u e v possiedono le seguenti proprietà:

• $u+v=-\frac{b}{a}$
• $u\cdot v=\frac{c}{a}$

Anche in questo caso la scomposizione può essere dimostrata nel modo seguente:

$\begin{align} a(x-u)(x-v)&=ax^2-avx-aux+auv \\ &=ax^2-ax(v+u)+auv \\ &=ax^2+bx+c \\ \end{align}$

Come nel caso precedente u e v possono essere trovate cercando le radici del polinomio utilizzando la formula per le equazioni di secondo grado.

Trinomi di grado superiore a 2

Più in generale se consideriamo il trinomio:

$ax^h+bx^k+c \qquad \mbox{con } h=2k$

questo può essere scomposto utilizzando la sostituzione di variabili $x^k=t$ così da ottenere il trinomio:

$at^2+bt+c$

che può essere scomposto utilizzando i metodi descritti sopra e successivamente riapplicando al contrario la sostituzione

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