Trave su suolo elastico alla Winkler

Per trave su suolo elastico alla Winkler s'intende un modello matematico di travi continua, monodimensionale, polare, poggiata su un semipiano elastico costituito da molle a distribuzione continua che rappresentano il vincolo al suolo. Tale modello è utilizzato per lo studio di travi di fondazione.

Principio teorico

Nel semipiano elastico le molle esplicano la loro rigidezza traslazionale esclusivamente nella direzione degli spostamenti verticali.

Assumendo questa schematizzazione viene assegnata al terreno di fondazione, su cui poggia la trave, una certa resistenza a trazione che nella realtà sappiamo non appartenere ai materiali incoerenti come i terreni. Questa approssimazione conduce in ogni caso a dei risultati del tutto teorici che sono accettabili per descrivere molteplici situazioni di interesse pratico.

L'equazione differenziale

Partendo da due dati, la costante di sottofondo e la base geometrica della fondazione, si valuta la reazione del terreno per unità di lunghezza:

$r(x) = -k b v(x) \Rightarrow r(x) = -\beta v(x)$

L'equazione differenziale che regola il problema della trave risulta essere:

$EI v^{(IV)}(x) = q(x) + r(x)$ $EI v^{(IV)}(x) + \beta v(x) = q(x) \Rightarrow v^{(IV)}(x) + \frac{\beta}{EI} v(x) = \frac{q(x)}{EI}$

Ponendo $\frac{\beta}{EI} = 4 \alpha^4$ si ottiene

$v^{(IV)}(x) + 4 \alpha^4 v(x) = \frac{q(x)}{EI}$

Soluzione dell'equazione differenziale

La soluzione è del tipo $v(x) = v_0(x) + v_1(x)$ in cui

• $v(x)$ integrale generale
• $v_0(x)$ soluzione omogenea associata che tiene conto dei vincoli e della struttura
• $v_1(x)$ integrale particolare che soddisfa l'equilibrio

Integrale dell'omogenea associata

$\frac{d^4v_0(x)}{dx^4} + 4 \alpha^4 v_0(x) = 0$

Ipotizzando una soluzione del tipo $v_0(x) = e^{\lambda x}$ per arrivare ad una soluzione del tipo

$v_0(x) = C_1 e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + C_2 e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) + C_3 e^{\alpha x} \cos (\alpha x) + C_4 e^{\alpha x} \sin (\alpha x)$ dove $\alpha = \sqrt{ \sqrt{ \frac {\beta}{4EI} } }$

Integrale particolare

Limitandosi l'analisi ai carichi esterni distribuiti dalla forma

$q(x) = c \cdot x^n$ con $n \le 3$

quindi limitandosi a carichi distribuiti lineari o parabolici fino al 3º ordine, si ipotizza una soluzione del tipo

$v_1(x) = a \cdot x^n$ con $n \le 3$

e sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene

$\frac{d^4v_1(x)}{dx^4} + 4 \alpha^4 v_1(x) = \frac{q(x)}{EI} \Rightarrow v_1(x) = \frac{q(x)}{EI \cdot 4\alpha^4}$

ed essendo che $4 \alpha^4 = \frac{\beta}{EI}$ allora

$v_1(x) = \frac{q(x)}{\beta}$

Integrale generale

La funzione che definisce la linea elastica è quindi

$v(x) = C_1 e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + C_2 e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) + C_3 e^{\alpha x} \cos (\alpha x) + C_4 e^{\alpha x} \sin (\alpha x) + \frac {q(x)}{\beta}$

Per determinare le costanti di integrazione $C_i$ occorre ricorrere alle condizioni al contorno, dopo aver dedotto le seguenti grandezze:

• Rotazione della sezione $\phi = -\frac {dv}{dx}$
• Momento flettente $M = -EI \frac {d^2v}{dx^2}$
• Sforzo tagliante $T = -EI \frac {d^3v}{dx^3}$
• Reazione del terreno $r(x) = -\beta v(x)$

Le derivate dell'integrale generale sono:

• Derivata prima

$\begin{align} v'(x) &= \alpha [ (C_2 - C_1) e^{-\alpha x}\cos (\alpha x) - (C_1 + C_2) e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) + \\ &+ (C_4 - C_3) e^{\alpha x} \sin (\alpha x) + (C_4 + C_3) e^{\alpha x} \cos (\alpha x) ] + \frac {d}{dx} \left [ \frac {q(x)}{\beta} \right ]\end{align}$

• Derivata seconda

$v''(x) = 2\alpha^2 \left [ C_1 e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) - C_2 e^{\alpha x} \cos (\alpha x) - C_3 e^{\alpha x} \sin (\alpha x) + C_4 e^{\alpha x} \cos (\alpha x) \right ] + \frac {d^2}{dx^2} \left [ \frac {q(x)}{\beta} \right ]$

• Derivata terza

$\begin{align} v'''(x) &= 2\alpha^3 [ (C_1 + C_2) e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + (C_2 - C_1) e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) + \\ &- (C_3 + C_4) e^{\alpha x} \sin (\alpha x) + (C_4 - C_3) e^{\alpha x} \cos (\alpha x) ] + \frac {d^3}{dx^3} \left [ \frac {q(x)}{\beta} \right ]\end{align}$

Casistica

Se si considera una trave illimitata da una parte e soggetta ad un carico P applicato nella sezione iniziale, risulta che la trave all'infinito è indeformabile:

$q(x) = 0$, $v(x \to \infty) = 0$ e $v'(x \to \infty) = 0$

Quindi considerando l'equazione

$v(x) = C_1 e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + C_2 e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) + C_3 e^{\alpha x} \cos (\alpha x) + C_4 e^{\alpha x} \sin (\alpha x) + \frac {q(x)}{\beta}$

• per $x \to \infty$ i termini in $e^{-\alpha x}$ tendono a smorzare
• per $x \to \infty$ i termini in $e^{\alpha x}$ tendono ad incrementare

Ne consegue che per verificare la condizione $v(x \to \infty) = 0$, $C_3 = C_4 = 0$, quindi

$v(x) = C_1 e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + C_2 e^{-\alpha x} \sin (\alpha x)$

le cui derivate sono:

$v'(x) = \alpha e^{-\alpha x} \left [ (- C_1 + C_2 ) \cos (\alpha x) - ( C_1 + C_2 ) \sin (\alpha x) \right ]$ $v''(x) = 2\alpha^2 e^{-\alpha x} \left [ C_1 \sin (\alpha x) + C_2 \cos (\alpha x) \right ]$ $v'''(x) = 2\alpha^3 e^{-\alpha x} \left [ (C_1 - C_2) \sin (\alpha x) + ( C_1 + C_2 ) \cos (\alpha x) \right ]$

Per trovare i coefficienti basta imporre le condizioni al contorno.

Trave illimitata da una parte e soggetta ad un carico $P_0$ applicato nella sezione iniziale

Le condizioni al contorno per $x = 0$ sono $\begin{cases}M(0) = 0 \Rightarrow -EIv''(0)=0 \Rightarrow v''(0)=0 \\ T(0) = - P_0 \Rightarrow -EIv'''(0)=-P_0 \Rightarrow v'''(0)= \frac{P_0}{EI} \end{cases}$

Occorre sostituendo i valori nelle funzioni derivate:

$v''(x) = 2\alpha^2 \left [ C_1 e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) - C_2 e^{\alpha x} \cos (\alpha x) \right ]$

$v''(0) = - 2\alpha^2 C_2 \Rightarrow C_2 = 0$

$v'''(x) = 2\alpha^3 \left [ (C_1 + C_2) e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + (C_2 - C_1) e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) \right ]$

$v'''(0) = 2\alpha^3 C_1 = \frac{P_0}{EI} \Rightarrow C_1 = \frac{P_0}{2\alpha^3EI}$

Poiché $\alpha^4 = \frac{\beta}{4EI} \Rightarrow C_1 = \frac{2 \alpha P_0}{\beta}$ Quindi l'equazione che definisce lo spostamento risulta essere:

$v(x) = \frac{2 \alpha P_0}{\beta} e^{-\alpha x} \cos (\alpha x)$

Trave illimitata da entrambe le parti e sottoposta ad un carico $P_0$ in $x=0$

Le condizioni al contorno per $x = 0$ sono $\begin{cases}\varphi(0) = 0 \Rightarrow v'(0)=0 \\ T(0) = - P_0/2 \Rightarrow -EIv'''(0)=-P_0/2 \Rightarrow v'''(0)= \frac{P_0}{2EI} \end{cases}$

Occorre sostituendo i valori nelle funzioni derivate:

$v'(x) = \alpha e^{-\alpha x} \left[ (C_2 - C_1) \cos (\alpha x) - (C_1 + C_2) \sin (\alpha x) \right]$

$v'(0) = \alpha e^{-\alpha x} \left[ (C_2 - C_1) \cos (\alpha x) \right] = 0 \Rightarrow C_1 = C_2$

$v'''(x) = 2\alpha^3 \left [ (C_1 + C_2) e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + (C_2 - C_1) e^{-\alpha x} \sin (\alpha x) \right ]$

$v'''(x) = 2\alpha^3 \left [ (C_1 + C_2) e^{-\alpha x} \right ] = \frac{P_0}{2EI} \Rightarrow C_1 = \frac{P_0}{8\alpha^3EI}$

Poiché $\alpha^4 = \frac{\beta}{4EI} \Rightarrow C_1 = \frac{\alpha P_0}{2 \beta}$ Quindi l'equazione che definisce lo spostamento risulta essere:

$v(x) = \frac{\alpha P_0}{2 \beta} e^{-\alpha x} \left [\cos (\alpha x) + \sin (\alpha x) \right ]$

Trave illimitata da entrambe le parti e sottoposta ad un momento $\mathfrak{M}_0$ in $x=0$

Le condizioni al contorno per $x = 0$ sono $\begin{cases} v(0) = 0 \\ M(0) = m_0/2 \Rightarrow -EIv''(0)=-m_0/2 \Rightarrow v''(0)= \frac{m_0}{2EI} \end{cases}$

Occorre sostituendo i valori nelle funzioni derivate:

$v(x) = C_1 e^{-\alpha x} \cos (\alpha x) + C_2 e^{-\alpha x} \sin (\alpha x)$

$v(0) = 0 \Rightarrow C_1 = 0$

$v''(x) = 2\alpha^2 e^{-\alpha x} \left [ C_1 \sin (\alpha x) + C_2 \cos (\alpha x) \right ]$

$v''(0) = 2\alpha^2 \left ( C_2 \right ) = \frac{m_0}{2EI} \Rightarrow C_2 = \frac{m_0}{4\alpha^2EI}$

Poiché $\alpha^4 = \frac{\beta}{4EI} \Rightarrow C_2 = \frac{\alpha^2 m_0}{\beta}$ Quindi l'equazione che definisce lo spostamento risulta essere:

$v(x) = \frac{\alpha^2 m_0}{\beta} e^{-\alpha x} \sin (\alpha x)$

Voci correlate

• Meccanica delle strutture
• Fondazioni
• Suolo elastico alla Winkler
• Emil Winkler

Collegamenti esterni

• Diagrammi trave di Winkler di lunghezza infinita

Modelli strutturali
	Continui monodimensionali: Teoria della trave - Trave su suolo elastico alla Winkler Continui bidimensionali: Serbatoio cilindrico - Piastra - Lastra - Membrana - Guscio

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