Teorema di Wigner-Eckart

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Il teorema di Wigner-Eckart è un importante teorema della meccanica quantistica che permette di semplificare il calcolo degli elementi di matrice di un tensore sferico. Sia T_q^k la componente q-esima di un tensore sferico di rango k, (A,J,J_z) un insieme completo di osservabili che commutano e |\alpha jm \rangle una base di autostati simultanei delle stesse. Allora:

\langle \alpha'j'm'|T_q^k |\alpha j m \rangle = \langle j k; m q |j k; j' m' \rangle \frac{\langle \alpha'j'||T^k||\alpha j \rangle}{\sqrt{2j+1}}

Il primo termine al secondo membro è un coefficiente di Clebsch-Gordan corrispondente alla composizione di due momenti angolari j e k con terza componente m e q rispettivamente. Il secondo termine è detto elemento di matrice ridotto e non dipende da m, m' e q. Nel caso in cui abbiamo k=0, cioè il tensore sferico è uno scalare, allora

\langle \alpha'j'm'|T_0^0|\alpha j m \rangle = \langle j 0 m 0|j'm' \rangle \langle \alpha'j'||T^0||\alpha j \rangle

di conseguenza otteniamo le regole di selezione j=j' e m=m' (per avere un elemento di matrice non nullo). Nel caso in cui k=1, cioè il tensore sferico è un operatore vettoriale, si ottiene

\langle \alpha'j'm'|T_q^1|\alpha jm \rangle = \langle j 1 m q|j'm' \rangle \langle \alpha'j'||T^1||\alpha j \rangle

da cui seguono le regole di selezione m'= m + q e j' ∈ j ⊗ 1.

Dal teorema di Wigner-Eckart, nel caso  j=j' e k=1, segue facilmente un ulteriore importante teorema, il teorema di proiezione:

\langle \alpha'jm'|T_q^1|\alpha jm \rangle = \langle jm'|J_q|j'm' \rangle \langle \alpha'jm|\alpha jm \rangle

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) (capitolo 27, p. 1006)
  • L. D. Landau e E. M. Lifsits Fisica Teorica: Vol. 3 Meccanica Quantistica (Editori Riuniti, Roma, 1978)
  • J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
  • (EN) A. Messiah Quantum Mechanics (Dover, 2004) / (FR) Mécanique Quantique t. II (Dunod, 1960)
  • (EN) E. U. Condon e G. H. Shortley The theory of atomic spectra (Cambridge University Press, 1959)
  • (EN) W. Miller Jr. Symmetry Groups and Their Applications (Academic Press, New York, 1972) (capitolo 3, p. 81 e capitolo 7)

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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