Coefficienti di Clebsch-Gordan

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I coefficienti di Clebsch-Gordan in meccanica quantistica come in fisica atomica e fisica della materia condensata sono utilizzati per passare da una base all'altra nella composizione di momenti angolari.

Composizione di momenti angolari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Composizione di momenti angolari e Serie di Clebsch-Gordan.

Per quanto visto nella composizione dei momenti angolari che può riguardare sia la composizione di due o più momenti angolari orbitali che la composizione di due momenti angolari di spin o ancora l'accoppiamento tra il momento angolare orbitale e quello di spin, abbiamo identificato due basi:

  • La prima base nella quale sono diagonali \vec J_{1}^{2} , \vec J_{2}^{2}, J_{1 z} , J_{2 z} cioè nella base in cui questi operatori commutano, che si identificano con i vettori di base:
(1)|j_1, j_2, j_{1z}, j_{2z} \rangle

e per la quale valgono le equazioni agli autovalori:

\vec J_{1}^{2} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_1 (j_1 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle
J_{1z} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_{1z} \hbar |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle
\vec J_{2}^{2} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_2 (j_2 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle
J_{2z} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_{2z} \hbar |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle
  • La seconda base nella quale sono diagonali \vec J^2, J_{z} ,\vec J_{1}^{2} , \vec J_{2}^{2}
cioè nella base in cui questi operatori commutano, che si identificano con i vettori di base:
(2) |j_1 , j_2 , J , M \rangle

Valgono le equazioni agli autovalori:

\vec J_{1}^{2} |j_1 , j_2 , J, M \rangle = j_1 (j_1 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , J, M \rangle
\vec J_{2}^{2} |j_1 , j_2 , J ,M \rangle = j_2 (j_2 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , J , M \rangle
\vec J^2 |j_1 , j_2 , J , M \rangle = j (j+1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , J , M \rangle
J_{z} |j_1 , j_2 , J , M \rangle = j_{z} \hbar |j_1 , j_2 , J , M \rangle

dove J = j_1 + j_2 è l'autovalore di \vec J^2 ed M = j_{1z} + j_{2z} è l'autovalore di J_z. Il passaggio da una base all'altra è determinato dai coefficienti di Clebsh-Gordan.

Gli stati (1) e (2) sono messi in relazione da una trasformazione unitaria:

(3)|j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} \rangle = \sum_{J,M} \langle j_1 , j_2 , J , M | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle | j_1 , j_2 , J , M \rangle

dove i coefficienti

\langle j_1 , j_2 , J , M | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle

sono appunto i coefficienti di Clebsh-Gordan. Viceversa la trasformazione inversa:

(4)|j_1 , j_2 , J , M  \rangle = \sum_{j_{1z}, j_{2z}} \langle j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} | j_1 , j_2 , J , M \rangle | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle

definisce i coefficienti di Clebsh-Gordan complessi coniugati dei precedenti:

\langle j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} | j_1 , j_2 , J , M \rangle^* = \langle j_1 , j_2 , J , M | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle

Convenzione di Condon-Shortley[modifica | modifica wikitesto]

Per determinare i coefficienti di Clebsh-Gordan bisogna tenere conto della fase degli stati. Siccome tale fase non è univoca si tiene conto di essa utilizzando la convenzione di Condon-Shortley secondo la quale gli stati massimi delle due basi devono avere coefficiente 1, che fissa il fattore di fase globale tra le due basi. Poi tutti gli elementi delle matrici che rappresentano gli operatori J_{1-}, J_{2-}, J_- sono presi reali e semidefiniti positivi che fissano i fattori di fase relativi agli stessi stati degeneri, infine gli elementi di matrice \langle j_1 , j_2 , J, M |J_{1z}|j_1, j_2 , J \pm 1, M \rangle sono presi reali e semidefiniti positivi: queste tre condizioni fissano univocamente tutte le fasi relative del sistema, in tal modo tutti i coefficienti sono reali.

Primi coefficienti[modifica | modifica wikitesto]

Dalle proprietà fondamentali della composizione di momenti angolari si evince che tutti i coefficienti di Clebsh-Gordan sono nulli a meno che non verifichino:

(5)M = j_{1z} + j_{2z}  \, \, \, \, \, \, \, \, |j_1 - j_2 | \le j \le j_1 + j_2

Inoltre la condizione che siano ortogonali unita alla condizione di realtà ci dice che:

(6)\sum_{j_{1z}, j_{2z}} \langle j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} | j_1, j_2 , J' , M' \rangle \langle  j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} | j_1 , j_2 , J, M \rangle = \delta_{JJ'} \delta_{MM'}

cioè la condizione di unitarietà della trasformazione. Inoltre la condizione di normalizzazione degli stati:

(7)\sum_{j_{1z}, j_{2z}} \left |\langle j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle \right|^2 = 1

Il metodo è sempre quello di utilizzare gli operatori di scala, come nella composizione dei momenti angolari si vede che il valore massimo dei due momenti è:

J = j_1 + j_2

infatti il valore massimo di J è quello in cui j_1 assume il valore della proiezione del momento angolare j_{1z} e analogamente per j_2 che assume j_{2z}, rappresentano uno stato determinato da:

|j_1 , j_2 , j_1, j_2 \rangle

nella seconda base è determinato dallo stato:

(8)|j_1 , j_2 , J = j_1 + j_2 , M = j_{1z} + j_{2z} = j_1 + j_2 \rangle

dove in accordo con la convenzione si è preso il fattore di fase uguale a 1. Scalando il valore di M di 1, cioè M = j_{1z} + j_{2z} - 1 si corrispondono due stati infatti applicando l'operatore di scala J_- = J_{1-} + J_{2-} allo stato (8) si hanno due stati dati da:

|j_1 , j_2 , j_1 - 1, j_2 \rangle
|j_1 , j_2 , j_1, j_2 - 1\rangle

cioè:

(9)|j_1 , j_2 , J = j_1 + j_2 , M = j_1 + j_2 - 1 \rangle = \sqrt{\frac{j_1}{j_1 + j_2}} |j_1 , j_2, j_1 - 1 , j_2 \rangle + \sqrt{\frac{j_2}{j_1 + j_2}} |j_1 , j_2 , j_1 , j_2 - 1 \rangle

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) (capitolo 27, p. 1006)
  • L. D. Landau e E. M. Lifsits Fisica Teorica: Vol. 3 Meccanica Quantistica (Editori Riuniti, Roma, 1978)
  • J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
  • (EN) A. Messiah Quantum Mechanics (Dover, 2004) / (FR) Mécanique Quantique t. II (Dunod, 1960)
  • (EN) E. U. Condon e G. H. Shortley The theory of atomic spectra (Cambridge University Press, 1959)
  • (EN) W. Miller Jr. Symmetry Groups and Their Applications (Academic Press, New York, 1972) (capitolo 3, p. 81 e capitolo 7)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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