Sfera di Bloch

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Sfera di Bloch

In meccanica quantistica, la sfera di Bloch è una rappresentazione geometrica dello spazio degli stati "puri" di un sistema quanto-meccanico a 2 livelli che scriviamo q. In altri termini essa rappresenta gli stati "puri" di un registro quantistico a 1 Qubit. La sfera di Bloch è geometricamente una sfera di raggio unitario i cui punti sulla superficie sono in corrispondenza biunivoca con gli stati "puri" di q; questa corrispondenza può essere determinata esplicitamente e fornisce una rappresentazione di q spesso utile.

Determiniamo questa corrispondenza, cioè la descrizione di un qubit nella sfera di Bloch. Un qualsiasi stato ψ di q può essere scritto come la "sovrapposizione" complessa di due vettori ket  |0 \rangle e |1 \rangle costituenti una base ortonormale dello spazio di Hilbert di q. Questa rappresentazione dipendente da 4 parametri reali è notoriamente ridondante, sia perché sono sufficienti i vettori di norma 1, sia perché i fattori di fase non influiscono sugli stati fisici. Possiamo supporre che il coefficiente di  |0 \rangle sia reale e non negativo: con questa scelta ogni ψ utile e di norma 1 viene rappresentato come

 |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle +  e^{i \phi}  \sin \theta  \,|1 \rangle

con

 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \quad  0 \leq \phi < 2 \pi.

I parametri φ e θ, un po' diversi da quelli utilizzati solitamente per le coordinate sferiche, identificano univocamente un punto di coordinate (x,y,z) sulla sfera unitaria dello spazio euclideo R3 tramite le seguenti espressioni

 \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \cdot \cos \phi \\ 
y & = & \sin 2 \theta \cdot \sin \phi \\ 
z & = & \cos 2 \theta \end{matrix}

Questa corrispondenza è biunivoca ad eccezione dei punti (0,0,1) e (0,0,-1) per i quali φ è ininfluente.

Due punti agli antipodi della superficie della sfera rappresentano vettori fra loro ortogonali.

In questa rappresentazione  |0 \rangle è mappato nel punto (0,0,1) e  |1 \rangle è mappato nel punto (0,0,-1). Ad eccezione di questi due poli ogni coppia (θ,φ) si trova in corrispondenza biunivoca con uno stato di q.

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