Semicerchio

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Un semicerchio con raggio r.
Detto AC il diametro del semicerchio, l'angolo B è un angolo retto

In matematica il semicerchio è la figura geometrica bidimensionale che forma la metà di un cerchio. L'arco che viene a formarsi intorno al centro del cerchio ha l'ampiezza di 180°.

Si tratta di un caso particolare di segmento circolare: i due angoli che si vengono a formare tra la circonferenza e la corda sono angoli retti (vedi figura). La corda coincide peraltro con il diametro.

Equazione cartesiana[modifica | modifica wikitesto]

In un piano cartesiano ortogonale Oxy, la funzione della semicirconferenza si ricava semplicemente dall'equazione cartesiana della circonferenza ed è espressa nel modo seguente:

f(x)=\sqrt{c+ax-x^{2}}

se ha centro sull'asse x, e

f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}}

se ha centro nell'origine di riferimento, dove

r=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+c}

è il raggio della semicirconferenza.

Calcolo del volume della sfera[modifica | modifica wikitesto]

Infatti, sfruttando l'integrale di rotazione:

\pi \int f(x)^2dx

ovvero, facendo ruotare la funzione della semicirconferenza attorno all'asse delle ascisse, si ottiene:

\pi \int_{-r}^{+r}(\sqrt{r^2-x^2})^2dx=
\pi \int_{-r}^{+r}(r^2-x^2)dx=
\pi \left(r^2x-\frac{1}{3}x^3\right)_{-r}^{+r}=
\pi \left(r^3-\frac{1}{3}r^3+r^3-\frac{1}{3}r^3\right)_{-r}^{+r}=
\frac{4}{3}\pi r^3

che, notoriamente, rappresenta il volume della sfera.

Teorema di Talete[modifica | modifica wikitesto]

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Cerchio di Talete

Il triangolo inscritto in un cerchio e che ha per lato il suo diametro deve essere un triangolo rettangolo.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentazione grafica della dimostrazione

Notiamo, innanzitutto, che un triangolo soddisfacente le ipotesi è inscritto in un semicerchio del cerchio assegnato. Chiamiamo AC il diametro del semicerchio. Due vertici del triangolo sono dati dai punti A e C. Il terzo vertice, detto B, sarà un generico punto della semicirconferenza.

Detto O il centro del semicerchio, abbiamo che OA = OB = OC in quanto raggi dello stesso; avendo OBA e OBC ciascuno due lati uguali essi sono due triangoli isosceli. Ma poiché in un qualsiasi triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, allora valgono le uguaglianze OBC = OCB e BAO = ABO.

Poniamo adesso α = BAO e β = OBC, per cui gli angoli interni del triangolo ABC sono α, α + β e β; in un qualsiasi triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto (180°), il che può essere applicato in questo caso al triangolo ABC:

\alpha+\left( \alpha + \beta \right) + \beta = 180^\circ

allora

{2}\alpha + {2}\beta =180^\circ

o, più semplicemente,

\alpha + \beta =90^\circ

ma α + β è esattamente l'angolo individuato da B: essendo esso un angolo retto il triangolo ABC è un triangolo rettangolo.

Q.E.D.

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