Segmento circolare

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* R sta per il raggio; * c indica la secante o corda (linea tratteggiata); * s sta per la lunghezza dell'arco; *  \theta (theta) sta per l'angolo; * d per l'altezza della porzione triangolare; * h è la saetta, ovvero l'altezza del segmento circolare verde.

In geometria, un segmento circolare è una porzione di cerchio delimitata da una secante (o corda).

La corda o secante definisce due segmenti circolari (uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco. Per indicare le parti del segmento circolare, si usano lettere secondo un'annotazione anglosassone).

Formule principali[modifica | modifica wikitesto]

  • L'area del segmento circolare corrisponderà alla differenza tra quella del settore circolare definito da  \theta \frac{}{} e l'area della porzione triangolare.
  • Il raggio equivale ovviamente alla somma delle due altezze:  R = h + d \frac{}{}.
  • Per l'arco s = R \theta \frac{}{}, laddove  \theta \frac{}{} è espresso in radianti.
  • Per l'area si avrà:  A = \frac{1}{2}R^2\left(\theta-\sin\theta\right). In alternativa si può usare questa formula che non fa uso di funzioni trigonometriche né dell'angolo  \theta \frac{}{} ma solo di lunghezze: A = {{R \cdot \left( s - c \right) + c \cdot h } \over 2} .

Dimostrazione
L'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ovvero:

 \frac{1}{2} R^2\theta -  \frac{1}{2} (R^2 sin \theta) = \frac{1}{2}R^2\left(\theta-\sin\theta\right).
  • Per la corda: c = 2 R \cdot \sin \left(\frac{\theta}{2}\right).
  • Altezza della porzione triangolare: d = R \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right).

Formule approssimate[modifica | modifica wikitesto]

Poiché per \alpha \in [0,\pi/4] è possibile approssimare la funzione \sin(\alpha) utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ovvero:

\sin(\alpha) \simeq \alpha - \frac{\alpha^3}{6}.

Per \theta \in [0,\pi/2] la lunghezza della corda c si approssima con la seguente formula:

c =2R\cdot\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\simeq2R\cdot\left(\frac{\theta}{2}-\frac{\theta^3}{48}\right) = R\theta \cdot\left(1-\frac{\theta^2}{24}\right) = s \cdot\left(1-\frac{\theta^2}{24}\right)

dunque

c \simeq  s \cdot\left(1-\frac{\theta^2}{24}\right).

Analogamente, noti c e s è possibile ricavare \theta e R (per \theta \in\, ]0,\pi/2]):

\theta \simeq \sqrt{ 24 \cdot \left( 1 - \frac{c}{s} \right) }
R = \frac{s}{\theta} \simeq \frac{s}{ \sqrt{ 24 \cdot \left( 1 - \dfrac{c}{s} \right) } }

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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