Segmento circolare

* $R$ sta per il raggio; * $c$ indica la secante o corda (linea tratteggiata); * $s$ sta per la lunghezza dell'arco; * $\theta$ (theta) sta per l'angolo; * $d$ per l'altezza della porzione triangolare; * $h$ è la saetta, ovvero l'altezza del segmento circolare verde.

In geometria, un segmento circolare è una porzione di cerchio delimitata da una secante (o corda).

La corda o secante definisce due segmenti circolari (uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco. Per indicare le parti del segmento circolare, si usano lettere secondo un'annotazione anglosassone).

Formule principali

• L'area del segmento circolare corrisponderà alla differenza tra quella del settore circolare definito da $\theta \frac{}{}$ e l'area della porzione triangolare.

• Il raggio equivale ovviamente alla somma delle due altezze:  $R = h + d \frac{}{}$.

• Per l'arco $s = R \theta \frac{}{}$, laddove $\theta \frac{}{}$ è espresso in radianti.

• Per l'area si avrà:  $A = \frac{1}{2}R^2\left(\theta-\sin\theta\right)$. In alternativa si può usare questa formula che non fa uso di funzioni trigonometriche né dell'angolo $\theta \frac{}{}$ ma solo di lunghezze: $A = {{R \cdot \left( s - c \right) + c \cdot h } \over 2}$.

Dimostrazione
L'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ovvero:

$\frac{1}{2} R^2\theta - \frac{1}{2} (R^2 sin \theta) = \frac{1}{2}R^2\left(\theta-\sin\theta\right)$.

• Per la corda: $c = 2 R \cdot \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$.

• Altezza della porzione triangolare: $d = R \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

Formule approssimate

Poiché per $\alpha \in [0,\pi/4]$ è possibile approssimare la funzione $\sin(\alpha)$ utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ovvero:

$\sin(\alpha) \simeq \alpha - \frac{\alpha^3}{6}$.

Per $\theta \in [0,\pi/2]$ la lunghezza della corda c si approssima con la seguente formula:

$c =2R\cdot\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\simeq2R\cdot\left(\frac{\theta}{2}-\frac{\theta^3}{48}\right) = R\theta \cdot\left(1-\frac{\theta^2}{24}\right) = s \cdot\left(1-\frac{\theta^2}{24}\right)$

dunque

$c \simeq s \cdot\left(1-\frac{\theta^2}{24}\right)$.

Analogamente, noti $c$ e $s$ è possibile ricavare $\theta$ e $R$ (per $\theta \in\, ]0,\pi/2]$):

$\theta \simeq \sqrt{ 24 \cdot \left( 1 - \frac{c}{s} \right) }$

$R = \frac{s}{\theta} \simeq \frac{s}{ \sqrt{ 24 \cdot \left( 1 - \dfrac{c}{s} \right) } }$

Voci correlate

• Segmento sferico

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica