Scelta intertemporale

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Nella teoria del consumatore, la scelta intertemporale è la decisione dell’individuo concernente l’allocazione del consumo, del risparmio e del lavoro tra il presente e il futuro (distribuzione nel tempo).

Il modello di Fisher[modifica | modifica sorgente]

Il modello di Fisher può essere illustrato prendendo due periodi: il periodo attuale o periodo 1 (questo mese o quest’anno) e il periodo futuro o periodo 2 (il mese prossimo o l’anno prossimo). L’individuo pianifica il suo consumo tenendo conto dei suoi bisogni e dei suoi redditi attuali e previsti. Il vincolo di bilancio è:

 C_2 = (Y_1-C_1)(1+r)+Y_2

dove C_1 è il consumo attuale e  C_2 il consumo futuro; Y_1 il reddito attuale e  Y_2 il reddito futuro. La somma risparmiata Y_1-C_1 (se questa differenza è positiva) o presa in prestito (se questa differenza è negativa) è investita o presa in prestito al tasso di interesse r. Le preferenze del consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità intertemporale  V(C_1, C_2) . Si ottiene la massima utilità con il metodo di Lagrange:

 L = V(C_1, C_2) + \lambda \left[Y_1(1+r)+ Y_2 - C_1(1+r)-C_2\right]

dove  \lambda è una variabile ausiliaria. Le condizioni di primo ordine sono:

Illustrazione del vincolo di bilancio con il consumo attuale in ascissa e il consumo futuro in ordinata.
Scelta intertemporale del consumatore, tenendo conto del vincolo di bilancio e delle sue preferenze
Se il consumatore risparmia, un aumento del tasso di interesse avrà un risultato ambiguo sul consumo presente (da A a B).
Se il consumatore ha preso un prestito, un aumento del tasso di interesse conduce ad una diminuzione del consumo presente (da A a B).
 \frac{\partial L}{\partial C_1}= \frac{\partial V}{\partial C_1}- \lambda (1+r) = 0
 \frac{\partial L}{\partial C_2}= \frac{\partial V}{\partial C_2} - \lambda = 0
 \frac{\partial L}{\partial \lambda}= Y_1(1+r)+ Y_2 - C_1(1+r)-C_2 = 0

Risolvendo questo sistema di equazioni si ottengono le funzioni di consumo:

 C_1 = f_1(Y_1, Y_2, r) \quad; \quad C_2 = f_2(Y_1, Y_2, r)

Dalle condizioni di primo ordine si può anche dedurre la relazione seguente:

\frac{\frac{\partial V}{\partial C_1}}{\frac{\partial V}{\partial C_2}}-1=\rho = i

Il termine a sinistra è chiamato il tasso di preferenza intertemporale. All’equilibrio deve essere uguale al tasso di interesse[1].

Graficamente, la soluzione è ottenuta quando la curva d’indifferenza la più alta è tangente alla retta del vincolo di bilancio (punto A).

Variazione del tasso di interesse[modifica | modifica sorgente]

Se il tasso di interesse aumenta la retta del vincolo di bilancio subisce una rotazione oraria con perno il punto dove il consumo di ogni periodo è uguale al reddito del periodo (punto E).

Questa variazione ha un effetto di reddito[2] (il consumatore che ha risparmiato nel periodo 1 avrà un reddito più grande nel periodo 2) e un effetto di sostituzione[3] (risparmiare diventa più vantaggioso poiché l’interesse aumenta)[4]. Se il consumatore voleva prendere un prestito, l’effetto totale è una diminuzione del consumo nel periodo 1. In caso di risparmio, l’effetto totale è ambiguo.

Utilizzando la teoria della preferenza rivelata, si può anche dire che un consumatore che risparmia resta sempre un risparmiatore quando il tasso di interesse aumenta. Se il tasso di interesse diminuisce, il consumatore che ha preso un prestito continua a essere un debitore nel periodo 1[5].

Tutti questi risultati sono valevoli solo nel caso di due periodi. Se ci sono altri periodi non si è obbligati a rimborsare il prestito nel periodo 2.

La regola di Keynes-Ramsey[modifica | modifica sorgente]

Si fa sovente l’ipotesi che la funzione di utilità intertemporale è di forma additiva nei periodi:

 V = u(C_1) + \frac{1}{1+\rho} u(C_2)

dove \rho è il “tasso soggettivo di sconto del tempo” e  u(C_.) l’utilità istantanea. L’idea di uno «sconto soggettivo» delle utilità future come per i valori finanziari risale a Böhm-Bawerk. Secondo questo autore[6] la sottovalutazione dei beni futuri[7] è dovuta alla mancanza d’immaginazione e ad una debolezza della volontà degli individui.

Sostituendo C_2 prendendo il valore dedotto dal vincolo di bilancio si ottiene la condizione di primo ordire per la massimizzazione della funzione di utilità intertemporale:

 u^{\prime} (C_1)=\frac{1+r}{1+\rho} u^{\prime} (C_2)

Prendendo questa equazione intertemporale di Eulero si ottiene la regola di Keynes-Ramsey[8]:

 \frac{ u^{\prime} (C_2)}{(1+\rho) u^{\prime} (C_1)}=\frac{1}{1+r}

Il tasso marginale di sostituzione intertemporale deve essere uguale al prezzo relativo dei consumi.

Generalizzazione con tempo continuo[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di numerosi periodi si preferisce sovente utilizzare il tempo continuo. La funzione di utilità intertemporale diventa allora:

 V = \int_o^\infty e^{-\rho t} u(C_t) dt

La variazione del consumo dipende dall’equazione differenziale:

 \dot A_t = r_t A_t + Y_t - C_t

dove  A sono gli attivi finanziari,  Y il reddito non finanziario (reddito del lavoro per esempio), C il consumo e il punto sopra la variabile indica la derivata rispetto al tempo. Siccome i valori finanziari futuri non possono avere un valore attuale negativo, bisogna imporre la restrizione:

 \lim_{t \to \infty} A_t e^{-\int_o^t r_s ds} \ge 0

(niente schema Ponzi)

Utilizzando il metodo di Pontryagin si ha il valore corrente dell’hamiltoniana:

 \mathcal{H}^c = u(C_t) + \lambda \left[r A + Y - C \right]

dove  \lambda è una variabile ausiliaria. Dopo avere sostituito questa variabile nelle condizioni di primo ordine[9] [10] si ottiene la regola di Keynes-Ramsey:

 \frac{\dot C}{C} = \frac{1}{\theta(C)} (r_t-\rho)

dove:

 \theta (C) = - \frac{C_t}{u^{\prime} (C)} u^{\prime \prime}(C)

Il tasso di crescita ottimale del consumo dipende dall’elasticità di sostituzione intertemporale  \left[1/\theta(C)\right] e dall’eccedenza del tasso di interesse rispetto al tasso soggettivo di sconto intertemporale.

Sconto iperbolico[modifica | modifica sorgente]

Gli esperimenti effettuati con degli studenti trovano che la sottovaluazione dei beni futuri non segue una legge esponenziale come supposto qui sopra. Per esempio Thaler[11] ha osservato che in media gli studenti chiedono, al posto di 15 $ immediatamente, 20 $ se un mese dopo, 50 $ se un anno dopo e 100 $ se dieci anni dopo. Questi valori implicano un sconto di 400% per un mese, 233% per un anno e 20% per 10 anni. Una diminuzione del tasso di sconto con lo scorrere del tempo può essere rappresentato da una legge iperbolica:

 V = \int_o^\infty \phi (t) u(C_t) dt = \int_o^\infty (1+\alpha t)^{-\rho / \alpha} u(C_t) dt

Quando \alpha tende verso zero si ritrova lo sconto esponenziale:  \lim_{\alpha \to 0} \phi (t) = e^{-\rho t} .

Questo tipo di sconto, preferito dagli psicologi[12], conduce ad una incoerenza intertemporale[13]. Il consumatore non segue il piano di consumo previsto precedentemente anche nel caso in cui niente cambia eccetto il tempo trascorso. La preparazione di un piano di consumo non ha grande utilità se lo sconto è iperbolico.

Modello del ciclo vitale di Modigliani[modifica | modifica sorgente]

Il punto di partenza della teoria del ciclo vitale è il modello di Fisher con un orizzonte temporale corrispondente a tutta la vita di un consumatore. Supponiamo che il reddito annuale sia costante e uguale a  \bar Y fino all’anno di pensionamento  N e zero in seguito. Se il consumatore vive  L anni, il consumo uniforme sarà di  \left [\frac{N}{L} \bar Y \right] (supponendo un tasso di interesse nullo). Il consumatore risparmia ogni anno  \bar Y - \frac{N}{L} \bar Y , fino al pensionamento, e in seguito utilizzerà il risparmio accumulato per il consumo durante gli anni in pensione.

Nel caso più generale[14], sia  W_t^T il valore attuale dei redditi previsti l’anno t dall’individuo di T anni:

 W_t^T = A_{t-1}^T + Y_t^T + \sum_{\tau=T+1}^N \frac{Y_t^{eT\tau}}{(1+r_t)^{\tau-T}}

dove A_{t-1}^T è il capitale accumulato,  Y_t^{eT\tau} i redditi previsti e r il tasso di interesse.

Se la funzione di utilità è omogenea rispetto ai consumi, si ottiene la funzione di consumo seguente:

 C_t^T = \Omega_t^T A_{t-1}^T + \Omega_t^T Y_t^T + \Omega_t^T (N-T) Y_t^{eT}

dove  Y_t^{eT} è il reddito medio previsto e  \Omega_t^T un fattore proporzionale che dipende dalla funzione di utilità.

Il modello può essere generalizzato introducendo il risparmio a scopo di eredità, la sicurezza sociale o una durata di vita aleatoria.

La teoria di Modigliani è utilizzata per studiare i sistemi di pensione pubblici e privati e il legame tra risparmio e crescita[15].

Il modello di Friedman[modifica | modifica sorgente]

Secondo Friedman[16] il consumo dipende dal reddito permanente dell’individuo, cioè dal reddito medio a lungo termine:

 c_{it}^P = \alpha y_{it}^P

dove  c_{it}^P è il consumo (permanente) e  \alpha è un coefficiente che dipende dal tasso di interesse, dal tasso di sconto soggettivo intertemporale e dal rapporto tra il patrimonio e il reddito del consumatore.

Sia  c_{it} il consumo dell’individuo i al tempo t. Si ha:

 c_{it} = c_{it}^P + c_{it}^T

dove  c_{it}^T è il consumo transitorio. Inoltre:

 y_{it} = y_{it}^P + y_{it}^T
 \sum_i y_{it}^T = \sum_i c_{it}^T = 0 .

Ciò significa che il reddito transitorio non ha nessun effetto sul consumo globale.

Friedman suppone che non ci sia correlazione tra alcune di queste variabili, in particolare tra il reddito transitorio e il consumo transitorio:

 \rho (C^P,C^T)=\rho(Y^P, Y^T) = \rho(C^T,Y^T) =0

dove  \rho è il coefficiente di correlazione.

Friedman propone di stimare il reddito permanente utilizzando la tecnica dei ritardi distribuiti:

Y^P = \lambda_o Y_t + \lambda_1 Y_{t-1} + \lambda_2 Y_{t-2} + \ldots

dove  \lambda_. sono dei coefficienti.

Le stime ottenute con dati aggregati ottengono una variazione del consumo superiore al valore previsto dalla teoria del reddito permanente (variazione eccessiva del consumo)[17].

Le stime con i dati individuali danno un risultato assai soddisfacente per la teoria del reddito permanente e quella del ciclo vitale[18].

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Fisher Irving, The Theory of Interest, New York, 1907, p. 291
  2. ^ Da D a B
  3. ^ Da A a D
  4. ^ J.M. Henderson and R.E. Quandt, Microeconomic Theory, London, 1980, p.331
  5. ^ Hal R. Varian, Intermediate Microeoconmics, London, 2009
  6. ^ Eugen von Böhm-Bawerk, Kapital und Kapitalzins, Insbruck, 1914
  7. ^ Una vacanza tra un anno ha meno utilità di una vacanza oggi.
  8. ^ Frank Ramsey, « A Mathematical Theory of Saving », Economic Journal, 1928, pp. 543-559
  9. ^ : \frac{\partial \mathcal{H}^c}{\partial C_t}=\frac{\partial u}{\partial C_t} - \lambda = 0
     \dot \lambda = \rho \lambda - \frac{\partial \mathcal{H}^c}{\partial A}= \lambda \left[ \rho - r \right]
  10. ^ La condizione di trasversalità deve essere soddisfatta:
     \lim_{t \to \infty} A_t \lambda_t e^{-\rho t} = 0
  11. ^ Richard Thaler, « Some empirical evidence on dynamic inconsistency «, Economic Letters, 1981, pp. 201-207
  12. ^ Shane Frederick et al., « Time discounting and time preference: A critical review », Journal of economic literature, 2002, pp. 351-401
  13. ^ Robert Strotz, « Myopia and Inconsistency in Dynamic Utility Maximisation «, Review of Economic Studies, 1956, pp. 165-180
  14. ^ Francesco Franco et. al., The Collected Papers of Franco Modigliani, vol. 6, Boston, 2005, p. 49
  15. ^ Angus Deaton, « Franco Modigliani and the life-cycle theory of consumption »,.BNL Quarterly Review, 2005, pp. 91-107
  16. ^ Milton Friedman, A Theory of the Consumption Function, Princeton, 1957
  17. ^ John Campbell and Gregory Mankiw, « Permanent Income, Current Income, and Consumption », Journal of Business and Economic Statistics, 1990, pp. 265-279
  18. ^ Orazio Attanasio and Martin Browning, « Testing the Life Cycle Model of Consumption: what can we learn from micro and macro data », Investigaciones Economicas, 1994, pp. 433-463

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Olivier Blanchard and Stanley Fischer, Lectures on Macroeconomics, Boston, 1989
  • Gernot Doppelhofer, « Intertemporal Macroeconomics », in N.F.G. Allington and J.S.L. McCombie, Cambridge Essays in Applied Economics, Cambridge, 2003
  • Rudiger Dornbusch and Stanley Fischer, Macro-Economics, London, 1981
  • Hal R. Varian, Intermediate Microeconomics, London, 2009
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