Regola aurea del risparmio

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Il tasso di risparmio di Regola Aurea (o regola d'oro) in economia è quel particolare tasso che massimizza il livello dei consumi di Stato stazionario nel modello di crescita di Solow.

Nel modello di Solow, un tasso di risparmio del 100% implica che tutto il prodotto venga reinvestito per la produzione futura, portando a un livello di consumi di stato stazionario nullo. Similmente, con un tasso dello 0%, non si investe per nulla, portando al totale deprezzamento del capitale esistente che non viene rimpiazzato e di nuovo a un livello nullo di consumo. Nell'intervallo tra questi due estremi si situa il tasso di risparmio di Regola aurea, dove la propensione al risparmio è tale che il consumo pro-capite è costante e massimo.

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Sia la funzione di produzione di una nazione:

 Q = F(K, L)

dove K è il capitale, L il lavoro e Q la produzione. Dividendo per L si ottengono dei valori pro capite. Supponendo che la funzione di produzione sia omogenea di grado uno si ha:

 \frac{Q}{L} = f(k)

dove k è il rapporto capitale / lavoro. Il consumo (C) è la produzione che non è investita (I). Si può scrivere:

 \frac{Q}{L} = \frac{C}{L} + \frac{I}{L} = c + \frac{\dot K}{L}

dove c è il consumo pro capite e il punto sopra una variabile indica una derivata rispetto al tempo (l’investimento aumenta lo stock di capitale). Siccome:

 \dot k = \frac{\dot K}{L} - \frac{\dot L}{L} \frac{K}{L}

si può scrivere:

 f(k) = c + \dot k + g k

dove  g = \dot L / L è il tasso di crescita della popolazione (L). In equilibrio stazionario, il rapporto capitale / lavoro non cambia più e allora:

 c = f(k^*) - g k^*

Il valore di  k^* che massimizza il consumo pro capite è:

 f^{\prime}(k^*) = g [1]

Si ottiene così la regola d’oro dell’accumulazione del capitale (regola d’oro del risparmio): per massimizzare il consumo pro capite la produttività marginale del capitale in equilibrio stazionario [ f^{\prime}(k^*) ] deve essere uguale al tasso di crescita della popolazione. Utilizzando questa regola si può stabilire se il risparmio (e l’investimento) di una nazione è ottimale. Questa regola è sovente utilizzata dal FMI nell’ambito dell’esame periodico delle politiche economiche nazionali.

Regola d’oro modificata[modifica | modifica sorgente]

La nazione desidera massimizzare l’utilità intertemporale:

 \int_o^\infty e^{-\rho t} u(c_t) dt

dove  u(c_t) è l’utilità istantanea del consumo e  \rho è il tasso soggettivo di sconto del tempo. La variazione del consumo dipende dall’equazione differenziale:

 \dot k = f(k) - g k - c

Utilizzando il metodo di Pontryagin si ha il valore corrente dell’hamiltoniana:

 \mathcal{H}^c = u(c_t) + \lambda \left[ f(k) - g k - c \right]

dove  \lambda è una variabile ausiliaria. Dopo aver sostituito questa variabile nelle condizioni di primo ordine[2] si trova:

 \left[ c \frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^{\prime} c} \right] \frac{\dot c}{c} = \rho + g - f^{\prime}(k)

In equilibrio stazionario  \dot c = 0 e allora:

 f^{\prime}(k^*) = \rho + g

Con questa regola d’oro modificata il rapporto capitale / lavoro sarà più piccolo a causa dell’impazienza rappresentata dal tasso di sconto del tempo.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Se si prende l’investimento lordo allora:
     \dot K = I - \delta K
    dove  \delta è il tasso di deprezzamento. La regola diventa:
     f^{\prime}(k^*) = \delta + g
  2. ^ : \frac{\partial \mathcal{H}^c}{\partial c_t}=\frac{\partial u}{\partial c_t} - \lambda = 0
     \dot \lambda = \rho \lambda - \frac{\partial \mathcal{H}^c}{\partial k}= \lambda \left[ \rho - f^{\prime}(k)+ g \right]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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