Principio dell'argomento

In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.

Enunciato

Sia $\Omega \subset \mathbb {C}$, e sia $\gamma$ una catena omologa a zero in $\Omega$. Sia $f$ una funzione meromorfa su $\Omega$, con un numero finito di zeri e poli, $z_{1},\dots ,z_{n}\in \Omega$, non appartenenti al supporto della curva $\gamma$. Allora

$$\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}{\text{Ind}}_{\gamma }(z_{i}){\text{ord}}_{z_{i}}(f),$$

dove ${\text{ord}}_{z_{i}}(f)=m_{i}\in \mathbb {Z}$ è l'ordine della funzione $f$ in $z_{i}$, definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della serie di Laurent della funzione $f$ centrata in $z_{i}$, per ogni $i=1,\dots ,n$.

Dimostrazione

Sia $\Omega ':=\Omega \backslash \{z_{1},\dots ,z_{n}\}$. Allora la funzione ${\frac {f'}{f}}$ è olomorfa in $\Omega '$. Se si proverà che ${\text{Res}}_{z_{i}}\left({\frac {f'}{f}}\right)={\text{ord}}_{z_{i}}(f)$, dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.

Consideriamo la serie di Laurent della funzione $f$ centrata in $z_{i}$, la quale, per semplicità, la scriviamo come $f(z)=(z-z_{i})^{m_{i}}h(z)$, dove $m_{i}$ denota l'ordine della funzione $f$ nel punto $z_{i}$, ed $h$ è una funzione olomorfa in $z_{i}$ tale che $h(z_{i})\neq 0$, per ogni $i=1,\dots ,n$. Quindi vale che

$${\frac {f'(z)}{f(z)}}={\frac {m_{i}(z-z_{i})^{m_{i}-1}h(z)+(z-z_{i})^{m_{i}}h'(z)}{(z-z_{i})^{m_{i}}h(z)}}={\frac {m_{i}}{z-z_{i}}}+{\frac {h'(z)}{h(z)}},$$

dove la funzione ${\frac {h'}{h}}$ è olomorfa in $z_{i}$, per ogni $i=1,\dots ,n$. Di conseguenza, ${\text{Res}}_{z_{i}}\left({\frac {f'}{f}}\right)=m_{i}={\text{ord}}_{z_{i}}(f)$, per ogni $i=1,\dots ,n$.

Corollario

Sia $\Omega \subset \mathbb {C}$, e sia $f$ una funzione meromorfa su $\Omega$. Sia $\gamma$ una curva chiusa semplice in $\Omega$ tale che l'interno di $\gamma$ sia contenuto in $\Omega$, ed il supporto di $\gamma$ non contenga zeri o poli della funzione $f$. Allora

$$\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i(N_{0}-N_{\infty }),$$

dove $N_{0}$ ed $N_{\infty }$ indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva $\gamma$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Principio dell'argomento, su MathWorld, Wolfram Research.