Numero altamente composto

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Un numero altamente composto è un intero positivo che ha più divisori di qualsiasi intero positivo minore. I primi venti numeri altamente composti sono:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080[1],

con rispettivamente 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 60, 64 e 72 divisori positivi[2]. La sequenza dei numeri altamente composti è un sottoinsieme della sequenza dei più piccoli numeri k con esattamente n divisori[3].

I numeri altamente composti sono infiniti. Per dimostrare questo, supponiamo che n sia un qualsiasi numero altamente composto. Allora 2n avrà più divisori di n (avrà infatti tutti i divisori di n più perlomeno 2n) e quindi un numero maggiore di n, ma non superiore a 2n, deve essere a sua volta altamente composto.

Parlando in generale, un numero altamente composto è facile che abbia fattori primi i più piccoli possibili, ma non troppi uguali. Dato un numero n la cui scomposizione in fattori primi è.:

n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdot \dots \cdot p_k^{c_k}

Dove p_1 < p_2 < \dots < p_k sono primi, e gli esponenti c_i sono interi positivi, allora il numero di divisori di n è:

(c_1 + 1) (c_2 + 1) \cdot \dots \cdot (c_k + 1).

Quindi, perché n sia un numero altamente composto:

  • i k numeri primi p_i devono essere precisamente i primi k numeri primi (2, 3, 5, ...); altrimenti, possiamo sostituire uno dei primi dati con uno minore, e ottenere così un numero minore di n con lo stesso numero di fattori (ad esempio, 10 = 2 × 5. Il 5 potrebbe essere sostituito con il 3: 6 = 2 × 3, ed entrambi avrebbero 4 divisori);
  • la sequenza degli esponenti non deve essere crescente, vale a dire c_1 \geq c_2 \geq \dots \geq c_k; altrimenti, scambiando due esponenti non in ordine si può ottenere un numero minore di n con lo stesso numero di divisori (ad esempio 18 = 21×32 può essere trasformato in 12 = 22×31, entrambi con 6 divisori).

Inoltre, ad eccezione dei casi n = 4 e n = 36, l'ultimo esponente ck deve essere uguale ad 1.

Dire che la sequenza degli esponenti è non crescente è equivalente a dire che un numero altamente composto è un prodotto di primoriali.

I numeri altamente composti maggiori di 6 sono anche numeri abbondanti. Per accertarsene basta guardare ai tre o quattro divisori più alti di un particolare numero altamente composto. Tutti i numeri altamente composti sono anche numeri di Harshad.

Se Q(x) è il numero di numeri altamente composti minori od uguali ad x, allora esistono due costanti a e b, entrambe maggiori di 1, tali che:

(\ln x)^a \le Q(x) \le (\ln x)^b

La prima parte della disuguaglianza fu provata da Paul Erdős nel 1944 e la seconda da J.-L. Nicholas nel 1988.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Sequenza A002182 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A002183 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ (EN) Sequenza A005179 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

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