Inviluppo (matematica)

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In matematica, un inviluppo di una famiglia o di un insieme di curve piane è un insieme di curve tangenti a ciascun membro della famiglia in almeno un punto.

La più semplice espressione analitica di un inviluppo di curve nel piano (x,y) è data dalla coppia di equazioni

F(x,y,t)=0\qquad\qquad(1)
\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=0\qquad\qquad(2)

dove la famiglia è implicitamente definita da (1); la (2), in termini informali, individua i punti in cui la F(x,y,t) rimane "costante". Ovviamente deve essere possibile fare la derivata parziale rispetto a t di ciascuna curva della famiglia.

Per una famiglia di curve nel piano definite dalle equazioni parametriche (x(t, p), y(t, p)), l'inviluppo si ottiene dall'equazione

{\partial x\over\partial t}{\partial y\over\partial p} = {\partial y\over\partial t}{\partial x\over\partial p}

dove al variare del parametro p si ottengono le differenti curve della famiglia.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Animazione che mostra l'inviluppo di una famiglia di rette a inclinazione negativa

Si consideri il piano cartesiano, I quadrante, e in esso le rette passanti per i punti (0, k – t) e (t, 0), dove k è una costante e la famiglia di rette è generata dal variare del parametro t. La generica equazione di tali rette è y = −(k − t)x/t + k − t, ovvero, in forma implicita:

F(x,y,t)=t^2+t(y-x-k)+kx=0

Uguagliando a zero la derivata rispetto a t si ha:

\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+y-x-k=0

da cui:

t=\frac{-y+x+k}{2}

Sostituendo t nella definizione di F(x,y,t) si ottiene:

x^2-2xy+y^2-2kx-2ky+k^2=0

che è l'equazione della curva di inviluppo.


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