Grande rombicosidodecaedro stellato

Grande rombicosidodecaedro stellato
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20 triangoli 30 quadrati 12 pentagrammi
Nº facce	62
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	3.4.5/3.4
Notazione di Wythoff	5/3 3 | 2 5/2 3/2 | 2
Notazione di Schläfli	rr{5/3,3}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande esacontaedro trapezoidale
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale

In geometria, il grande rombicosidodecaedro stellato è un poliedro stellato uniforme avente 62 facce - 20 triangolari, 30 quadrate e 12 forma di pentagramma - 120 spigoli e 60 vertici.

Costruzioni di Wythoff

Utilizzando la costruzione di Wythoff, il grande rombicosidodecaedro stellato si può ottenere utilizzando tre famiglie di triangoli di Schwarz: 5/3 3 | 2 e 5/2 3/2 | 2, ottenendo sempre lo stesso risultato.

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande rombicosidodecaedro stellato sono date da tutte le permutazioni pari di:

$${\begin{array}{ccclc}{\Bigl (}&\pm \,{\frac {1}{\varphi ^{2}}},&0,&\pm {\bigl [}2-{\frac {1}{\varphi }}{\bigr ]}&{\Bigr )}\\{\Bigl (}&\pm \,1,&\pm \,{\frac {1}{\varphi ^{3}}},&\pm \,1&{\Bigr )}\\{\Bigl (}&\pm \,{\frac {1}{\varphi }},&\pm \,{\frac {1}{\varphi ^{2}}},&\pm \,{\frac {2}{\varphi }}&{\Bigr )}\end{array}}$$

dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea.

Poliedri correlati

Il grande rombicosidodecaedro stellato, spesso indicato con il simbolo U₆₇, ha la stessa disposizione di vertici di altri tre poliedri uniformi, ossia il grande dodecicosidodecaedro, il grande dodecaedro troncato e il grande rombidodecaedro, nonché di altri due composti uniformi, ossia il composto di sei prismi pentagonali e il composto di dodici prismi pentagonali. Con il grande grande dodecicosidodecaedro e con il grande rombidodecaedro, esso condivide anche la posizione degli spigoli, avendo in comune con il primo anche la disposizione delle sue facce triangolari e pentagrammiche, e con il secondo quella delle sue facce quadrate.

Grande rombicosidodecaedro stellato	Grande dodecicosidodecaedro	Grande rombidodecaedro
Grande dodecaedro troncato	Composto di sei prismi pentagonali	Composto di dodici prismi pentagonali

Grande esacontaedro trapezoidale

Grande esacontaedro trapezoidale
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Aquiloni
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	62
Caratteristica di Eulero	2
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande rombicosidodecaedro stellato

Il grande esacontaedro trapezoidale è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande rombicosidodecaedro stellato, avente per facce 60 dardi, detti anche aquiloni non convessi.

Dato un grande rombicosidodecaedro stellato di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro trapezoidale come composto da 60 facce a forma di dardi intersecanti, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, i due angoli uguali di tali facce, ossia i due angoli acuti, risultano avere un'ampiezza di $\arccos \left({\frac {5+2{\sqrt {5}}}{10}}\right)\approx 18,69941^{\circ }$, mentre gli altri misurano $\arccos \left({\frac {-5+2{\sqrt {5}}}{20}}\right)\approx 91,51239^{\circ }$ e $360^{\circ }-\arccos \left(-{\frac {5+9{\sqrt {5}}}{40}}\right)\approx 231.08879^{\circ }$. I lati corti delle facce risultano invece misurare ${\frac {\sqrt {5\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{3}}\approx 2,00500$ e i lunghi ${\frac {\sqrt {5\left(85+31{\sqrt {5}}\right)}}{11}}\approx 2,52523$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Grande rombicosidodecaedro stellato, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Grande esacontaedro trapezoidale, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.